Phần trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 37. Để tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số lượng mẫu số liệu: Tổng số lượng mẫu số liệu là: \[ n = 5 + 12 + 23 + 31 + 29 = 100 \] 2. Xác định vị trí của Q1 và Q3: - Vị trí của Q1 (tứ phân vị thứ nhất) là: \[ \frac{n}{4} = \frac{100}{4} = 25 \] - Vị trí của Q3 (tứ phân vị thứ ba) là: \[ \frac{3n}{4} = \frac{3 \times 100}{4} = 75 \] 3. Xác định khoảng chứa Q1 và Q3: - Khoảng chứa Q1: Từ 0 đến 20 (5 mẫu), từ 20 đến 40 (12 mẫu), từ 40 đến 60 (23 mẫu). Vị trí 25 nằm trong khoảng từ 40 đến 60. - Khoảng chứa Q3: Từ 0 đến 20 (5 mẫu), từ 20 đến 40 (12 mẫu), từ 40 đến 60 (23 mẫu), từ 60 đến 80 (31 mẫu). Vị trí 75 nằm trong khoảng từ 60 đến 80. 4. Tính Q1 và Q3: - Q1 nằm trong khoảng từ 40 đến 60: \[ Q1 = 40 + \left( \frac{25 - (5 + 12)}{23} \right) \times 20 = 40 + \left( \frac{25 - 17}{23} \right) \times 20 = 40 + \left( \frac{8}{23} \right) \times 20 \approx 40 + 6.96 = 46.96 \] - Q3 nằm trong khoảng từ 60 đến 80: \[ Q3 = 60 + \left( \frac{75 - (5 + 12 + 23)}{31} \right) \times 20 = 60 + \left( \frac{75 - 40}{31} \right) \times 20 = 60 + \left( \frac{35}{31} \right) \times 20 \approx 60 + 22.58 = 82.58 \] 5. Tính khoảng tứ phân vị: \[ Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 82.58 - 46.96 = 35.62 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần chục: \[ Khoảng tứ phân vị \approx 35.6 \] Đáp số: 35.6 Câu 38. Điểm M thay đổi trên mặt cầu tâm I bán kính 3 nên ta có $IM=3.$ Ta có $P=2MA^2-MB^2=2(MI^2+IA^2+2MI.IA.cos(IMA))-MB^2=2(9+IA^2+6IA.cos(IMA))-(MI^2+IB^2+2MI.IB.cos(MIB))=18+2IA^2-IB^2+12IA.cos(IMA)-6IB.cos(MIB).$ Ta thấy $P$ đạt giá trị lớn nhất khi $cos(IMA)=1,~cos(MIB)=1$ và đạt giá trị nhỏ nhất khi $cos(IMA)=-1,~cos(MIB)=-1.$ Suy ra $m=18+2IA^2-IB^2+12IA-6IB,~n=18+2IA^2-IB^2-12IA+6IB.$ Vậy $40(m-n)=40(24IA-12IB)=40(24\times 5-12\times 3)=3840.$ Câu 39. Để tính phương sai của mẫu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung bình cộng của mẫu: - Đầu tiên, ta tính trọng số trung tâm của mỗi lớp: \[ \begin{aligned} &\text{Lớp } [19; 21): \quad x_1 = \frac{19 + 21}{2} = 20 \\ &\text{Lớp } [21; 23): \quad x_2 = \frac{21 + 23}{2} = 22 \\ &\text{Lớp } [23; 25): \quad x_3 = \frac{23 + 25}{2} = 24 \\ &\text{Lớp } [25; 27): \quad x_4 = \frac{25 + 27}{2} = 26 \\ &\text{Lớp } [27; 29]: \quad x_5 = \frac{27 + 29}{2} = 28 \\ \end{aligned} \] - Tiếp theo, ta tính trung bình cộng \( \bar{x} \): \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{5} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{5} f_i} \] Trong đó, \( f_i \) là tần số của mỗi lớp và \( x_i \) là trọng số trung tâm của mỗi lớp. \[ \begin{aligned} \bar{x} &= \frac{(5 \times 20) + (9 \times 22) + (10 \times 24) + (7 \times 26) + (4 \times 28)}{35} \\ &= \frac{100 + 198 + 240 + 182 + 112}{35} \\ &= \frac{832}{35} \\ &= 23.7714 \approx 23.77 \text{ (phút)} \end{aligned} \] 2. Tính phương sai của mẫu: - Phương sai \( S^2 \) được tính bằng công thức: \[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{5} f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{5} f_i} \] Ta tính từng phần: \[ \begin{aligned} &f_1 (x_1 - \bar{x})^2 = 5 \times (20 - 23.77)^2 = 5 \times (-3.77)^2 = 5 \times 14.2129 = 71.0645 \\ &f_2 (x_2 - \bar{x})^2 = 9 \times (22 - 23.77)^2 = 9 \times (-1.77)^2 = 9 \times 3.1329 = 28.1961 \\ &f_3 (x_3 - \bar{x})^2 = 10 \times (24 - 23.77)^2 = 10 \times (0.23)^2 = 10 \times 0.0529 = 0.529 \\ &f_4 (x_4 - \bar{x})^2 = 7 \times (26 - 23.77)^2 = 7 \times (2.23)^2 = 7 \times 4.9729 = 34.8103 \\ &f_5 (x_5 - \bar{x})^2 = 4 \times (28 - 23.77)^2 = 4 \times (4.23)^2 = 4 \times 17.8929 = 71.5716 \\ \end{aligned} \] Tổng các giá trị này: \[ \sum_{i=1}^{5} f_i (x_i - \bar{x})^2 = 71.0645 + 28.1961 + 0.529 + 34.8103 + 71.5716 = 206.1715 \] Phương sai: \[ S^2 = \frac{206.1715}{35} \approx 5.89 \] Vậy phương sai của mẫu là \( 5.89 \). Câu 40. Đầu tiên, ta cần tính tốc độ của máy bay Airbus: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{300^2 + (-200)^2 + 400^2} = \sqrt{90000 + 40000 + 160000} = \sqrt{290000} = 100\sqrt{29} \text{ km/h} \] Tốc độ của máy bay quân sự B là gấp đôi tốc độ của máy bay Airbus: \[ v_B = 2 \times 100\sqrt{29} = 200\sqrt{29} \text{ km/h} \] Thời gian để máy bay B đến đích là: \[ t = \frac{\text{Khoảng cách đến đích}}{\text{Tốc độ của máy bay B}} = \frac{250}{200\sqrt{29}} \] Rationalizing the denominator: \[ t = \frac{250}{200\sqrt{29}} \times \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}} = \frac{250\sqrt{29}}{200 \times 29} = \frac{250\sqrt{29}}{5800} = \frac{25\sqrt{29}}{580} = \frac{5\sqrt{29}}{116} \text{ giờ} \] Chuyển đổi sang số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm: \[ t \approx \frac{5 \times 5.385}{116} \approx \frac{26.925}{116} \approx 0.232 \text{ giờ} \] Vậy thời gian để máy bay B đến đích là khoảng 0.23 giờ. Câu 41. Để tính khoảng cách từ máy bay đến ra đa, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của máy bay: - Máy bay cách mặt đất 12 km, tức là tọa độ z của máy bay là 12 km. - Máy bay cách 400 km về phía tây, tức là tọa độ x của máy bay là -400 km (vì trục Ox hướng về phía tây). - Máy bay cách 300 km về phía nam, tức là tọa độ y của máy bay là -300 km (vì trục Oy hướng về phía nam). Vậy tọa độ của máy bay là \( F(-400, -300, 12) \). 2. Xác định tọa độ của ra đa: - Ra đa được đặt trên đỉnh tháp, tức là tọa độ z của ra đa là 0,1 km (vì tháp cao 100 m = 0,1 km). - Vì ra đa nằm trên đỉnh tháp, tọa độ x và y của ra đa là 0. Vậy tọa độ của ra đa là \( R(0, 0, 0,1) \). 3. Tính khoảng cách giữa máy bay và ra đa: - Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] - Thay tọa độ của máy bay \( F(-400, -300, 12) \) và tọa độ của ra đa \( R(0, 0, 0,1) \): \[ d = \sqrt{(-400 - 0)^2 + (-300 - 0)^2 + (12 - 0,1)^2} \] \[ d = \sqrt{(-400)^2 + (-300)^2 + (11,9)^2} \] \[ d = \sqrt{160000 + 90000 + 141,61} \] \[ d = \sqrt{250141,61} \] \[ d \approx 500,1 \text{ km} \] Vậy khoảng cách từ máy bay đến ra đa là khoảng 500,1 km. Câu 42. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định hệ tọa độ và các điểm đã cho: - Gốc tọa độ \( O \) trùng với vị trí của giàn khoan trên biển. - Mặt phẳng \( (Oxy) \) trùng với mặt biển. - Trục \( Ox \) hướng về phía tây. 2. Xác định các điểm trên hệ tọa độ: - Giả sử có các điểm \( A \), \( B \), \( C \) trên hệ tọa độ \( Oxyz \). 3. Tìm tọa độ của các điểm: - Để tìm tọa độ của các điểm, chúng ta cần biết vị trí của các điểm này trong không gian. Ví dụ: - Điểm \( A \) có tọa độ \( (x_1, y_1, z_1) \). - Điểm \( B \) có tọa độ \( (x_2, y_2, z_2) \). - Điểm \( C \) có tọa độ \( (x_3, y_3, z_3) \). 4. Xác định phương trình của các đường thẳng hoặc mặt phẳng liên quan: - Nếu cần tìm phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm \( A \) và \( B \), ta sử dụng công thức: \[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1} \] - Nếu cần tìm phương trình của mặt phẳng đi qua ba điểm \( A \), \( B \), và \( C \), ta sử dụng công thức: \[ \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0 \] 5. Tính khoảng cách giữa các điểm hoặc từ điểm đến đường thẳng/mặt phẳng: - Khoảng cách giữa hai điểm \( A \) và \( B \): \[ d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] - Khoảng cách từ điểm \( P(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \): \[ d(P, \text{mặt phẳng}) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] 6. Kiểm tra các điều kiện và nghiệm: - Kiểm tra các điều kiện xác định (ĐKXĐ) nếu có. - Kết luận các nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình. Ví dụ cụ thể: - Giả sử có điểm \( A(1, 2, 3) \), \( B(4, 5, 6) \), và \( C(7, 8, 9) \). - Phương trình đường thẳng đi qua \( A \) và \( B \): \[ \frac{x - 1}{4 - 1} = \frac{y - 2}{5 - 2} = \frac{z - 3}{6 - 3} \Rightarrow \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{3} \] - Phương trình mặt phẳng đi qua \( A \), \( B \), và \( C \): \[ \begin{vmatrix} x - 1 & y - 2 & z - 3 \\ 4 - 1 & 5 - 2 & 6 - 3 \\ 7 - 1 & 8 - 2 & 9 - 3 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} x - 1 & y - 2 & z - 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 6 & 6 & 6 \end{vmatrix} = 0 \] Điều này cho thấy các điểm \( A \), \( B \), và \( C \) nằm trên cùng một đường thẳng, do đó không xác định được mặt phẳng. Kết luận: - Các điểm \( A \), \( B \), và \( C \) nằm trên cùng một đường thẳng, không xác định được mặt phẳng. Đáp số: Các điểm \( A \), \( B \), và \( C \) nằm trên cùng một đường thẳng.