Giải chi tiết

LỚP: 12C,MÔN: ĐẠI SỐ,NGÀY: 4/6,ĐỀ: 01,THỜI GIAN: 40P

,PHẦN I. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thứ 4.,Câu 1. Cho hàm số $y=f(x)=(x^2-5x+7)e^x.$,$Đ~a)~f(0)=7.$,b) Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty;\frac52)$ và đồng biến trên khoảng $(\frac52;+\infty).$,c) Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[0;2]$ lần lượt là 7 và 3e..,d) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^\prime(x)=(2x-5)e^x.$,Câu 2. [ Mức độ 3] Khảo sát thị trường có 22,5% khách hàng sử dụng sản phẩm X , 50% dùng sản phẩm,Y , 36,5% trong số người dùng sản phẩm Y có dùng sản phẩm X . Chọn ngẫu nhiên một khách,hàng.,a) Xác suất khách hàng đó dùng sản phẩm Y là 0,5.,b) Xác suất khách hàng đó vừa dùng sản phẩm X , vừa dùng sản phẩm Y là 0,365.,c) Xác suất khách hàng đó dùng sản phẩm X là 0,225.,d) Xác suất khách hàng đó dùng sản phẩm Y , biết rằng khách hàng đó không dùng sản phẩm X là,0,41 (kết quả làm tròn đến hàng phấn trăm).,Câu 3. Một tên lửa hai tầng đẩy phóng từ mặt đất với vận tốc ban đầu $v_0=500m/s.$ Gia tốc của tên lửa,được tính theo công thức $a_1(t)=60-2t(m/s^2).$ Sau thời gian 30 s , tên lửa hết nhiên liệu tầng 1 và,tiếp tục kích hoạt tầng đẩy thứ 2 để bay với gia tốc $a_2=50-2t(m/s^2).$,a) Vận tốc của tên lửa đạt được tại thời điểm $t=30s$ là $1400m/s.$,b) Quảng đường di chuyển của tên lửa từ lúc phóng tới lúc hết nhiên liệu của tầng đẩy 1 là 30000m.,c) Tên lửa đạt tốc độ lớn nhất là 2025 m / s (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).,F. d) Sau khi bắt đầu kích hoạt tầng đẩy thứ 2 thì tên lửa bay thêm được 70 s nửa thì dừng lại.,PHẦN II. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn,Câu 1. (Cụm Chuyên Môn Đăk Lak 2025) Cho $C(x)=16000+500x-1,6x^2+0,004x^3$ là hàm chi phí và,$p(x)=1700-7x$ là hàm cầu. Hãy tìm mức sản xuất (tính theo đơn vị hàng hóa) sẽ tối đa hoá lợi,nhuận. $x=50.$,Câu 2. Một cuộc thi có 3 vòng. Vòng 1 lấy 90% thí sinh tham gia, vòng 2 lấy 80% thí sinh đã qua vòng 1,,vòng 3 lấy 90% thí sinh của vòng 2. Biết rằng khả năng của các thí sinh là như nhau. Tính xác suất,để chọn được một thí sinh bị loại ở vòng 2, nếu biết rằng thí sinh đó bị loại (kết quả làm tròn đến,hàng phần trăm).

Question

Giải chi tiết

LỚP: 12C,MÔN: ĐẠI SỐ,NGÀY: 4/6,ĐỀ: 01,THỜI GIAN: 40P

,PHẦN I. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thứ 4.,Câu 1. Cho hàm số $y=f(x)=(x^2-5x+7)e^x.$,$Đ~a)~f(0)=7.$,b) Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty;\frac52)$ và đồng biến trên khoảng $(\frac52;+\infty).$,c) Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[0;2]$ lần lượt là 7 và 3e..,d) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^\prime(x)=(2x-5)e^x.$,Câu 2. [ Mức độ 3] Khảo sát thị trường có 22,5% khách hàng sử dụng sản phẩm X , 50% dùng sản phẩm,Y , 36,5% trong số người dùng sản phẩm Y có dùng sản phẩm X . Chọn ngẫu nhiên một khách,hàng.,a) Xác suất khách hàng đó dùng sản phẩm Y là 0,5.,b) Xác suất khách hàng đó vừa dùng sản phẩm X , vừa dùng sản phẩm Y là 0,365.,c) Xác suất khách hàng đó dùng sản phẩm X là 0,225.,d) Xác suất khách hàng đó dùng sản phẩm Y , biết rằng khách hàng đó không dùng sản phẩm X là,0,41 (kết quả làm tròn đến hàng phấn trăm).,Câu 3. Một tên lửa hai tầng đẩy phóng từ mặt đất với vận tốc ban đầu $v_0=500m/s.$ Gia tốc của tên lửa,được tính theo công thức $a_1(t)=60-2t(m/s^2).$ Sau thời gian 30 s , tên lửa hết nhiên liệu tầng 1 và,tiếp tục kích hoạt tầng đẩy thứ 2 để bay với gia tốc $a_2=50-2t(m/s^2).$,a) Vận tốc của tên lửa đạt được tại thời điểm $t=30s$ là $1400m/s.$,b) Quảng đường di chuyển của tên lửa từ lúc phóng tới lúc hết nhiên liệu của tầng đẩy 1 là 30000m.,c) Tên lửa đạt tốc độ lớn nhất là 2025 m / s (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).,F. d) Sau khi bắt đầu kích hoạt tầng đẩy thứ 2 thì tên lửa bay thêm được 70 s nửa thì dừng lại.,PHẦN II. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn,Câu 1. (Cụm Chuyên Môn Đăk Lak 2025) Cho $C(x)=16000+500x-1,6x^2+0,004x^3$ là hàm chi phí và,$p(x)=1700-7x$ là hàm cầu. Hãy tìm mức sản xuất (tính theo đơn vị hàng hóa) sẽ tối đa hoá lợi,nhuận. $x=50.$,Câu 2. Một cuộc thi có 3 vòng. Vòng 1 lấy 90% thí sinh tham gia, vòng 2 lấy 80% thí sinh đã qua vòng 1,,vòng 3 lấy 90% thí sinh của vòng 2. Biết rằng khả năng của các thí sinh là như nhau. Tính xác suất,để chọn được một thí sinh bị loại ở vòng 2, nếu biết rằng thí sinh đó bị loại (kết quả làm tròn đến,hàng phần trăm).

Accepted Answer

Câu 1. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a) Tính $ f(0) $ Ta thay $ x = 0 $ vào hàm số $ y = f(x) = (x^2 - 5x + 7)e^x $: $$ f(0) = (0^2 - 5 \cdot 0 + 7)e^0 = 7 \cdot 1 = 7 $$ Vậy $ f(0) = 7 $. Phần b) Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số $ f(x) $: $$ f'(x) = \frac{d}{dx}[(x^2 - 5x + 7)e^x] $$ Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích: $$ f'(x) = (2x - 5)e^x + (x^2 - 5x + 7)e^x $$ $$ f'(x) = e^x(2x - 5 + x^2 - 5x + 7) $$ $$ f'(x) = e^x(x^2 - 3x + 2) $$ Tiếp theo, ta tìm dấu của đạo hàm $ f'(x) $: $$ f'(x) = e^x(x^2 - 3x + 2) $$ Phương trình $ x^2 - 3x + 2 = 0 $ có các nghiệm: $$ x = 1 \quad \text{và} \quad x = 2 $$ Do đó, ta xét dấu của $ f'(x) $ trên các khoảng: - Khi $ x < 1 $, $ x^2 - 3x + 2 > 0 $ nên $ f'(x) > 0 $ - Khi $ 1 < x < 2 $, $ x^2 - 3x + 2 < 0 $ nên $ f'(x) < 0 $ - Khi $ x > 2 $, $ x^2 - 3x + 2 > 0 $ nên $ f'(x) > 0 $ Vậy hàm số $ y = f(x) $ đồng biến trên các khoảng $ (-\infty, 1) $ và $ (2, +\infty) $, nghịch biến trên khoảng $ (1, 2) $. Phần c) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0, 2]$ Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và điểm cực trị trong đoạn $[0, 2]$: - $ f(0) = 7 $ - $ f(2) = (2^2 - 5 \cdot 2 + 7)e^2 = (4 - 10 + 7)e^2 = e^2 $ - $ f(1) = (1^2 - 5 \cdot 1 + 7)e^1 = (1 - 5 + 7)e = 3e $ So sánh các giá trị: - $ f(0) = 7 $ - $ f(2) = e^2 \approx 7.39 $ - $ f(1) = 3e \approx 8.15 $ Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0, 2]$ là 7, đạt được khi $ x = 0 $. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0, 2]$ là $ 3e $, đạt được khi $ x = 1 $. Phần d) Đạo hàm của hàm số đã cho Đạo hàm của hàm số $ f(x) = (x^2 - 5x + 7)e^x $ đã được tính ở phần b: $$ f'(x) = e^x(x^2 - 3x + 2) $$ Tuy nhiên, theo yêu cầu của đề bài, ta cần kiểm tra lại đạo hàm ban đầu: $$ f'(x) = (2x - 5)e^x + (x^2 - 5x + 7)e^x $$ $$ f'(x) = e^x(2x - 5 + x^2 - 5x + 7) $$ $$ f'(x) = e^x(x^2 - 3x + 2) $$ Như vậy, đạo hàm của hàm số đã cho là: $$ f'(x) = e^x(x^2 - 3x + 2) $$ Kết luận a) $ f(0) = 7 $ b) Hàm số $ y = f(x) $ nghịch biến trên khoảng $ (1, 2) $ và đồng biến trên các khoảng $ (-\infty, 1) $ và $ (2, +\infty) $. c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0, 2]$ là 7, đạt được khi $ x = 0 $. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0, 2]$ là $ 3e $, đạt được khi $ x = 1 $. d) Đạo hàm của hàm số đã cho là $ f'(x) = e^x(x^2 - 3x + 2) $. Câu 2. a) Xác suất khách hàng đó dùng sản phẩm Y là 0,5. Đúng vì theo đề bài, 50% khách hàng dùng sản phẩm Y, tức là xác suất là 0,5. b) Xác suất khách hàng đó vừa dùng sản phẩm X, vừa dùng sản phẩm Y là 0,365. Sai vì theo đề bài, 36,5% trong số người dùng sản phẩm Y có dùng sản phẩm X, tức là xác suất là 0,365 0,5 = 0,1825. c) Xác suất khách hàng đó dùng sản phẩm X là 0,225. Đúng vì theo đề bài, 22,5% khách hàng dùng sản phẩm X, tức là xác suất là 0,225. d) Xác suất khách hàng đó dùng sản phẩm Y, biết rằng khách hàng đó không dùng sản phẩm X là 0,41 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Đúng vì xác suất khách hàng dùng sản phẩm Y nhưng không dùng sản phẩm X là 0,5 - 0,1825 = 0,3175. Xác suất khách hàng không dùng sản phẩm X là 1 - 0,225 = 0,775. Vậy xác suất khách hàng dùng sản phẩm Y, biết rằng khách hàng đó không dùng sản phẩm X là 0,3175 / 0,775 ≈ 0,41. Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng. Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a) Vận tốc của tên lửa đạt được tại thời điểm $ t = 30 \text{s} $ Gia tốc của tên lửa trong tầng đẩy thứ nhất là: $$ a_1(t) = 60 - 2t $$ Vận tốc của tên lửa tại thời điểm $ t $ là: $$ v_1(t) = v_0 + \int_{0}^{t} a_1(t) \, dt $$ $$ v_1(t) = 500 + \int_{0}^{t} (60 - 2t) \, dt $$ $$ v_1(t) = 500 + \left[ 60t - t^2 \right]_{0}^{t} $$ $$ v_1(t) = 500 + 60t - t^2 $$ Tại thời điểm $ t = 30 \text{s} $: $$ v_1(30) = 500 + 60 \times 30 - 30^2 $$ $$ v_1(30) = 500 + 1800 - 900 $$ $$ v_1(30) = 1400 \text{m/s} $$ Phần b) Quảng đường di chuyển của tên lửa từ lúc phóng tới lúc hết nhiên liệu của tầng đẩy 1 Quãng đường di chuyển của tên lửa từ lúc phóng tới thời điểm $ t = 30 \text{s} $ là: $$ s_1(t) = \int_{0}^{t} v_1(t) \, dt $$ $$ s_1(t) = \int_{0}^{t} (500 + 60t - t^2) \, dt $$ $$ s_1(t) = \left[ 500t + 30t^2 - \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{t} $$ Tại thời điểm $ t = 30 \text{s} $: $$ s_1(30) = 500 \times 30 + 30 \times 30^2 - \frac{30^3}{3} $$ $$ s_1(30) = 15000 + 27000 - 9000 $$ $$ s_1(30) = 33000 \text{m} $$ Phần c) Tên lửa đạt tốc độ lớn nhất là 2025 m/s Gia tốc của tên lửa trong tầng đẩy thứ hai là: $$ a_2(t) = 50 - 2t $$ Vận tốc của tên lửa tại thời điểm $ t $ sau khi kích hoạt tầng đẩy thứ hai là: $$ v_2(t) = v_1(30) + \int_{0}^{t} a_2(t) \, dt $$ $$ v_2(t) = 1400 + \int_{0}^{t} (50 - 2t) \, dt $$ $$ v_2(t) = 1400 + \left[ 50t - t^2 \right]_{0}^{t} $$ $$ v_2(t) = 1400 + 50t - t^2 $$ Để tìm giá trị lớn nhất của $ v_2(t) $, ta lấy đạo hàm và đặt bằng 0: $$ \frac{d}{dt} v_2(t) = 50 - 2t = 0 $$ $$ t = 25 \text{s} $$ Tại thời điểm $ t = 25 \text{s} $: $$ v_2(25) = 1400 + 50 \times 25 - 25^2 $$ $$ v_2(25) = 1400 + 1250 - 625 $$ $$ v_2(25) = 2025 \text{m/s} $$ Phần d) Sau khi bắt đầu kích hoạt tầng đẩy thứ 2 thì tên lửa bay thêm được 70 s nữa thì dừng lại Quãng đường di chuyển của tên lửa sau khi kích hoạt tầng đẩy thứ hai là: $$ s_2(t) = \int_{0}^{t} v_2(t) \, dt $$ $$ s_2(t) = \int_{0}^{t} (1400 + 50t - t^2) \, dt $$ $$ s_2(t) = \left[ 1400t + 25t^2 - \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{t} $$ Tại thời điểm $ t = 70 \text{s} $: $$ s_2(70) = 1400 \times 70 + 25 \times 70^2 - \frac{70^3}{3} $$ $$ s_2(70) = 98000 + 122500 - \frac{343000}{3} $$ $$ s_2(70) = 98000 + 122500 - 114333.33 $$ $$ s_2(70) = 106166.67 \text{m} $$ Tổng quãng đường di chuyển của tên lửa là: $$ s_{\text{tổng}} = s_1(30) + s_2(70) $$ $$ s_{\text{tổng}} = 33000 + 106166.67 $$ $$ s_{\text{tổng}} = 139166.67 \text{m} $$ Đáp số: a) Vận tốc của tên lửa đạt được tại thời điểm $ t = 30 \text{s} $ là 1400 m/s. b) Quảng đường di chuyển của tên lửa từ lúc phóng tới lúc hết nhiên liệu của tầng đẩy 1 là 33000 m. c) Tên lửa đạt tốc độ lớn nhất là 2025 m/s. d) Sau khi bắt đầu kích hoạt tầng đẩy thứ 2 thì tên lửa bay thêm được 70 s nữa thì dừng lại. Câu 1. Để tìm mức sản xuất tối đa hóa lợi nhuận, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm hàm doanh thu $ R(x) $: Hàm doanh thu $ R(x) $ được tính bằng số lượng sản phẩm nhân với giá bán mỗi đơn vị sản phẩm. $$ R(x) = p(x) \cdot x = (1700 - 7x) \cdot x = 1700x - 7x^2 $$ 2. Tìm hàm lợi nhuận $ L(x) $: Hàm lợi nhuận $ L(x) $ được tính bằng doanh thu trừ đi chi phí. $$ L(x) = R(x) - C(x) $$ Thay $ R(x) $ và $ C(x) $ vào: $$ L(x) = (1700x - 7x^2) - (16000 + 500x - 1.6x^2 + 0.004x^3) $$ $$ L(x) = 1700x - 7x^2 - 16000 - 500x + 1.6x^2 - 0.004x^3 $$ $$ L(x) = -0.004x^3 - 5.4x^2 + 1200x - 16000 $$ 3. Tìm đạo hàm của hàm lợi nhuận $ L'(x) $: Để tìm điểm cực đại của hàm lợi nhuận, chúng ta cần tính đạo hàm của $ L(x) $ và tìm giá trị $ x $ sao cho $ L'(x) = 0 $. $$ L'(x) = \frac{d}{dx}(-0.004x^3 - 5.4x^2 + 1200x - 16000) $$ $$ L'(x) = -0.012x^2 - 10.8x + 1200 $$ 4. Giải phương trình $ L'(x) = 0 $: $$ -0.012x^2 - 10.8x + 1200 = 0 $$ Nhân cả hai vế với $-\frac{1000}{12}$ để đơn giản hóa: $$ x^2 + 900x - 100000 = 0 $$ Giải phương trình bậc hai này bằng công thức: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ Với $ a = 1 $, $ b = 900 $, $ c = -100000 $: $$ x = \frac{-900 \pm \sqrt{900^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100000)}}{2 \cdot 1} $$ $$ x = \frac{-900 \pm \sqrt{810000 + 400000}}{2} $$ $$ x = \frac{-900 \pm \sqrt{1210000}}{2} $$ $$ x = \frac{-900 \pm 1100}{2} $$ Ta có hai nghiệm: $$ x_1 = \frac{-900 + 1100}{2} = \frac{200}{2} = 100 $$ $$ x_2 = \frac{-900 - 1100}{2} = \frac{-2000}{2} = -1000 $$ Vì $ x $ là số lượng sản phẩm, nên $ x $ phải là số dương. Do đó, ta loại bỏ nghiệm $ x = -1000 $. 5. Kiểm tra tính chất của điểm cực đại: Để kiểm tra xem $ x = 100 $ là điểm cực đại, chúng ta tính đạo hàm thứ hai $ L''(x) $: $$ L''(x) = \frac{d}{dx}(-0.012x^2 - 10.8x + 1200) $$ $$ L''(x) = -0.024x - 10.8 $$ Thay $ x = 100 $ vào: $$ L''(100) = -0.024 \cdot 100 - 10.8 = -2.4 - 10.8 = -13.2 $$ Vì $ L''(100) < 0 $, nên $ x = 100 $ là điểm cực đại của hàm lợi nhuận. Do đó, mức sản xuất tối đa hóa lợi nhuận là $ x = 100 $. Câu 2. Để tính xác suất để chọn được một thí sinh bị loại ở vòng 2, ta cần biết tổng số thí sinh ban đầu và số thí sinh bị loại ở mỗi vòng. Giả sử ban đầu có $ N $ thí sinh tham gia cuộc thi. - Số thí sinh qua vòng 1 là: $$ N_1 = 0.9N $$ - Số thí sinh qua vòng 2 là: $$ N_2 = 0.8 \times N_1 = 0.8 \times 0.9N = 0.72N $$ - Số thí sinh qua vòng 3 là: $$ N_3 = 0.9 \times N_2 = 0.9 \times 0.72N = 0.648N $$ Số thí sinh bị loại ở vòng 2 là: $$ N_{loại2} = N_1 - N_2 = 0.9N - 0.72N = 0.18N $$ Tổng số thí sinh bị loại là: $$ N_{loại} = N - N_3 = N - 0.648N = 0.352N $$ Xác suất để chọn được một thí sinh bị loại ở vòng 2 là: $$ P = \frac{N_{loại2}}{N_{loại}} = \frac{0.18N}{0.352N} = \frac{0.18}{0.352} \approx 0.51136 $$ Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm: $$ P \approx 0.51 $$ Vậy xác suất để chọn được một thí sinh bị loại ở vòng 2 là khoảng 0.51 hoặc 51%.