Làm hộ câu này Câu 3. Trong một thí nghiệm xử lý nước thải tại phòng thí nghiệm, người ta quan sát sự thay đổi nồng độ một,chất ô nhiễm (đơn vị: NTU - chỉ số biểu thị mức độ ô nhiễm, giá trị càng cao thì mức độ ô nhiễm càng lớn),trong bể nước theo thời gian t (tính bằng giờ) kể từ khi bắt đầu thử nghiệm. Khi bắt đầu, một lượng hóa chất,được đưa vào bể. Nhờ quá trình phản ứng, hấp thụ và tự phân hủy sinh học, mức độ ô nhiễm thay đổi theo thời,Trang 2/5 - Mã đề 0101,gian và được mô phỏng xấp xỉ bằng công thức: $y(t)=5-\frac{15t}{9t^2+1},$ với $t\geq0$ (Đồ thị dưới đây biểu diễn mức độ,ô nhiễm của nước theo thời gian),,a) Tại thời điểm độ ô nhiễm đạt mức thấp nhất, nước đã đạt trạng thái sạch ổn định.,b) Trong toàn bộ quá trình theo dõi, nồng độ ô nhiễm không vượt quá 5NTU .,c) Sau 1 giờ kể từ khi thử nghiệm bắt đầu, nồng độ ô nhiễm trong nước là 3,5NTU .,d) Nồng độ ô nhiễm đạt mức thấp nhất tại thời điểm $t=\frac13.$

Question

Làm hộ câu này Câu 3. Trong một thí nghiệm xử lý nước thải tại phòng thí nghiệm, người ta quan sát sự thay đổi nồng độ một,chất ô nhiễm (đơn vị: NTU - chỉ số biểu thị mức độ ô nhiễm, giá trị càng cao thì mức độ ô nhiễm càng lớn),trong bể nước theo thời gian t (tính bằng giờ) kể từ khi bắt đầu thử nghiệm. Khi bắt đầu, một lượng hóa chất,được đưa vào bể. Nhờ quá trình phản ứng, hấp thụ và tự phân hủy sinh học, mức độ ô nhiễm thay đổi theo thời,Trang 2/5 - Mã đề 0101,gian và được mô phỏng xấp xỉ bằng công thức: $y(t)=5-\frac{15t}{9t^2+1},$ với $t\geq0$ (Đồ thị dưới đây biểu diễn mức độ,ô nhiễm của nước theo thời gian),<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/cfd77da8957d4a6e8c8902fcd5d424e4.jpg />,a) Tại thời điểm độ ô nhiễm đạt mức thấp nhất, nước đã đạt trạng thái sạch ổn định.,b) Trong toàn bộ quá trình theo dõi, nồng độ ô nhiễm không vượt quá 5NTU .,c) Sau 1 giờ kể từ khi thử nghiệm bắt đầu, nồng độ ô nhiễm trong nước là 3,5NTU .,d) Nồng độ ô nhiễm đạt mức thấp nhất tại thời điểm $t=\frac13.$

Accepted Answer

Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một để xác định phát biểu đúng. a) Tại thời điểm độ ô nhiễm đạt mức thấp nhất, nước đã đạt trạng thái sạch ổn định. Để tìm thời điểm mà nồng độ ô nhiễm đạt mức thấp nhất, chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y(t) = 5 - \frac{15t}{9t^2 + 1} $. Đầu tiên, tính đạo hàm của $ y(t) $: $$ y'(t) = \frac{d}{dt}\left(5 - \frac{15t}{9t^2 + 1}\right) $$ $$ y'(t) = - \frac{d}{dt}\left(\frac{15t}{9t^2 + 1}\right) $$ Áp dụng quy tắc thương: $$ y'(t) = - \frac{(15)(9t^2 + 1) - (15t)(18t)}{(9t^2 + 1)^2} $$ $$ y'(t) = - \frac{135t^2 + 15 - 270t^2}{(9t^2 + 1)^2} $$ $$ y'(t) = - \frac{-135t^2 + 15}{(9t^2 + 1)^2} $$ $$ y'(t) = \frac{135t^2 - 15}{(9t^2 + 1)^2} $$ Đặt $ y'(t) = 0 $: $$ \frac{135t^2 - 15}{(9t^2 + 1)^2} = 0 $$ $$ 135t^2 - 15 = 0 $$ $$ 135t^2 = 15 $$ $$ t^2 = \frac{15}{135} $$ $$ t^2 = \frac{1}{9} $$ $$ t = \frac{1}{3} \text{ hoặc } t = -\frac{1}{3} $$ Vì $ t \geq 0 $, ta chỉ xét $ t = \frac{1}{3} $. Kiểm tra dấu của $ y'(t) $ ở hai bên $ t = \frac{1}{3} $: - Khi $ t < \frac{1}{3} $, $ y'(t) < 0 $ - Khi $ t > \frac{1}{3} $, $ y'(t) > 0 $ Do đó, $ t = \frac{1}{3} $ là điểm cực tiểu của hàm số $ y(t) $. Vậy nồng độ ô nhiễm đạt mức thấp nhất tại thời điểm $ t = \frac{1}{3} $. b) Trong toàn bộ quá trình theo dõi, nồng độ ô nhiễm không vượt quá 5NTU. Ta thấy rằng: $$ y(t) = 5 - \frac{15t}{9t^2 + 1} $$ Khi $ t \to \infty $, $ \frac{15t}{9t^2 + 1} \to 0 $, do đó $ y(t) \to 5 $. Vậy nồng độ ô nhiễm không vượt quá 5NTU. c) Sau 1 giờ kể từ khi thử nghiệm bắt đầu, nồng độ ô nhiễm trong nước là 3,5NTU. Thay $ t = 1 $ vào $ y(t) $: $$ y(1) = 5 - \frac{15 \cdot 1}{9 \cdot 1^2 + 1} $$ $$ y(1) = 5 - \frac{15}{9 + 1} $$ $$ y(1) = 5 - \frac{15}{10} $$ $$ y(1) = 5 - 1.5 $$ $$ y(1) = 3.5 $$ Vậy sau 1 giờ, nồng độ ô nhiễm trong nước là 3,5NTU. d) Nồng độ ô nhiễm đạt mức thấp nhất tại thời điểm $ t = \frac{1}{3} $. Như đã chứng minh ở phần a), nồng độ ô nhiễm đạt mức thấp nhất tại thời điểm $ t = \frac{1}{3} $. Kết luận: Tất cả các phát biểu đều đúng.