Giải chi tiết ạ

Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a) Biểu thức tính $B(x)$ tính theo $x$ Biểu thức tính số tiền bán được $B(x)$ khi bán $x$ mét vải lụa với giá 220 nghìn đồng/mét là: \[ B(x) = 220x \] Phần b) Biểu thức tính $L(x)$ tính theo $x$ Lợi nhuận $L(x)$ khi bán $x$ mét vải lụa được tính bằng số tiền bán được trừ đi tổng chi phí sản xuất: \[ L(x) = B(x) - C(x) \] \[ L(x) = 220x - (x^3 - 3x^2 - 20x + 500) \] \[ L(x) = 220x - x^3 + 3x^2 + 20x - 500 \] \[ L(x) = -x^3 + 3x^2 + 240x - 500 \] Phần c) Nếu bán được 5 mét vải lụa thì hộ làm nghề dệt lãi được bao nhiêu nghìn đồng? Thay $x = 5$ vào biểu thức $L(x)$: \[ L(5) = -(5)^3 + 3(5)^2 + 240(5) - 500 \] \[ L(5) = -125 + 75 + 1200 - 500 \] \[ L(5) = 650 \] Vậy nếu bán được 5 mét vải lụa thì hộ làm nghề dệt lãi được 650 nghìn đồng. Phần d) Để đạt lợi nhuận tối đa mỗi ngày thì hộ làm nghề dệt cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu mét vải lụa? Để tìm giá trị của $x$ sao cho $L(x)$ đạt giá trị lớn nhất, ta tính đạo hàm của $L(x)$ và tìm điểm cực đại: \[ L'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x^2 + 240x - 500) \] \[ L'(x) = -3x^2 + 6x + 240 \] Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình $L'(x) = 0$: \[ -3x^2 + 6x + 240 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 80 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{324}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 18}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{2 + 18}{2} = 10 \] \[ x_2 = \frac{2 - 18}{2} = -8 \] Do $x$ phải nằm trong khoảng $[1, 18]$, ta loại nghiệm $x = -8$. Vì vậy, $x = 10$ là điểm cực trị duy nhất trong khoảng này. Kiểm tra đạo hàm thứ hai để xác định tính chất của điểm cực trị: \[ L''(x) = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 6x + 240) \] \[ L''(x) = -6x + 6 \] Tại $x = 10$: \[ L''(10) = -6(10) + 6 = -60 + 6 = -54 \] Vì $L''(10) < 0$, nên $x = 10$ là điểm cực đại. Vậy để đạt lợi nhuận tối đa mỗi ngày, hộ làm nghề dệt cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 10 mét vải lụa. Đáp án: a) Biểu thức tính $B(x)$ tính theo $x$ là $B(x) = 220x$. b) Biểu thức tính $L(x)$ tính theo $x$ là $L(x) = -x^3 + 3x^2 + 240x - 500$. c) Nếu bán được 5 mét vải lụa thì hộ làm nghề dệt lãi được 650 nghìn đồng. d) Để đạt lợi nhuận tối đa mỗi ngày thì hộ làm nghề dệt cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 10 mét vải lụa.