bài 1: cho a;b;c>0. cmr a+b/c + b+c/a + a+c/b>= 6 bài 2: cho a;b;c>0. cmr a/b+c + b/c+a +c/a+b>=3/2

bài 1: Để chứng minh bất đẳng thức $a+b/c + b+c/a + a+c/b \geq 6$, chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean). Bất đẳng thức AM-GM nói rằng với mọi số thực không âm $x_1, x_2, ..., x_n$, ta có: $x_1 + x_2 + ... + x_n \geq n \sqrt[n]{x_1x_2...x_n}$ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số thực không âm $a+b/c$, $b+c/a$, $a+c/b$, ta có: $(a+b/c) + (b+c/a) + (a+c/b) \geq 3 \sqrt[3]{(a+b/c)(b+c/a)(a+c/b)}$ Ta cần chứng minh rằng $3 \sqrt[3]{(a+b/c)(b+c/a)(a+c/b)} \geq 6$, hay $\sqrt[3]{(a+b/c)(b+c/a)(a+c/b)} \geq 2$. Bình phương hai vế, ta được: $(a+b/c)(b+c/a)(a+c/b) \geq 8$ Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số thực không âm $a+b/c$, $b+c/a$, $a+c/b$, ta có: $(a+b/c) + (b+c/a) + (a+c/b) \geq 3 \sqrt[3]{(a+b/c)(b+c/a)(a+c/b)}$ Mặt khác, theo giả thiết, ta có: $(a+b/c) + (b+c/a) + (a+c/b) = a+b/c + b+c/a + a+c/b \geq 6$ Từ hai bất đẳng thức trên, ta suy ra: $3 \sqrt[3]{(a+b/c)(b+c/a)(a+c/b)} \leq a+b/c + b+c/a + a+c/b \leq 6$ Do đó, $\sqrt[3]{(a+b/c)(b+c/a)(a+c/b)} \leq 2$. Bình phương hai vế, ta được: $(a+b/c)(b+c/a)(a+c/b) \leq 4$ Từ hai bất đẳng thức $(a+b/c)(b+c/a)(a+c/b) \geq 8$ và $(a+b/c)(b+c/a)(a+c/b) \leq 4$, ta suy ra: $(a+b/c)(b+c/a)(a+c/b) = 8$ Khi đó, ta có đẳng thức: $a+b/c = b+c/a = a+c/b = 2$ Giải hệ phương trình này, ta được $a = b = c$. Thay vào bất đẳng thức ban đầu, ta thấy rằng bất đẳng thức đúng với mọi $a = b = c > 0$. Vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức $a+b/c + b+c/a + a+c/b \geq 6$. bài 2: Để chứng minh bất đẳng thức $a/b+c + b/c+a +c/a+b \geq \frac{3}{2}$, chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba số thực dương $a, b, c$, ta có: \[(a + b + c)\left(\frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} + \frac{1}{a+b}\right) \geq (1 + 1 + 1)^2 = 9.\] Do đó, ta có: \[\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{9}{2(a + b + c)}.\] Vì $a, b, c > 0$, nên $a + b + c > 0$. Do đó, ta có: \[\frac{9}{2(a + b + c)} \geq \frac{3}{2}.\] Vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức $a/b+c + b/c+a +c/a+b \geq \frac{3}{2}$.