Câu 5.
a) Đúng. Tọa độ điểm đối xứng của đồ thị (C) qua gốc tọa độ là $(1;0)$.
b) Đúng. Đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi phương trình $x^3-3x^2+2=0$ có 3 nghiệm phân biệt.
c) Đúng. Có 4 giá trị nguyên của m để phương trình $x^3-3x^2=m$ có ba nghiệm phân biệt.
d) Sai. Có 3 giá trị nguyên của m để phương trình: $-|x|^3+3x^2+m=0$ có 4 nghiệm phân biệt.
a) Đúng. Đồ thị (C) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
b) Đúng. Có 2 phương trình tiếp tuyến của (C), song song với đường thẳng $d:y=36x+1$.
c) Sai. Không có giá trị nguyên của m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt : $|x|^3-\frac32x^2+m=0$.
d) Sai. Biết $m\in(a;b)$ thì phương trình : $|2x^2-x-1|=\frac m{|x-1|}$ có 4 nghiệm phân biệt khi đó $a+b\neq2$.
Vậy các mệnh đề a), b), c) và d) lần lượt là Đúng, Đúng, Đúng và Sai.
Câu 7.
a) Để tìm giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành, ta cần giải phương trình $y = 0$, tức là:
\[x^3 - 3x^2 + 4 = 0.\]
Phương trình này có một nghiệm duy nhất $x = 1$. Bằng cách chia đa thức, ta có thể phân tích phương trình thành:
\[(x - 1)(x^2 - 2x - 4) = 0.\]
Phương trình $x^2 - 2x - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt, do đó đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Mệnh đề a) đúng.
b) Để đồ thị (C) đối xứng qua điểm $I(a;b)$, thì hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 4$ phải thỏa mãn điều kiện:
\[y(a + x) = y(a - x) + 2b \quad \forall x \in \mathbb{R}.\]
Thay $y = x^3 - 3x^2 + 4$ vào điều kiện trên, ta thu được:
\[(a + x)^3 - 3(a + x)^2 + 4 = (a - x)^3 - 3(a - x)^2 + 4 + 2b.\]
Rút gọn và so sánh các số hạng tương ứng, ta thấy chỉ có thể $a = 1$ và $b = 2$. Do đó $a + b = 3$. Mệnh đề b) đúng.
c) Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 4$:
\[y' = 3x^2 - 6x.\]
Tại điểm có hoành độ $x = 3$, ta có $y'(3) = 3.3^2 - 6.3 = 9$. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ $x = 3$ là:
\[y - y(3) = y'(3)(x - 3).\]
Thay $y(3) = 3^3 - 3.3^2 + 4 = 4$ và $y'(3) = 9$ vào phương trình trên, ta được:
\[y - 4 = 9(x - 3).\]
Hay $y = 9x - 23$. Tiếp tuyến này không đi qua điểm $A(0;23)$. Mệnh đề c) sai.
d) Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 4$:
\[y' = 3x^2 - 6x.\]
Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất khi và chỉ khi $y'$ đạt giá trị nhỏ nhất. Bằng cách xét hàm số $y' = 3x^2 - 6x$ trên $\mathbb{R}$, ta thấy $y'$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 1$ và $y'(1) = -3$. Do đó, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là $y = -3x + 5$. Mệnh đề d) đúng.
Câu 8.
a) Khi $m=1$ hàm số trở thành $y=2x^3+x^2+3x+1$. Để tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành, ta giải phương trình $2x^3+x^2+3x+1=0$. Phương trình này không thể giải được bằng cách đặt nhân tử chung hoặc dùng các công thức nghiệm thông thường. Do đó, ta phải dùng phương pháp nghiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ. Nhưng phương trình này không có nghiệm nguyên cũng như nghiệm hữu tỉ. Vậy khi $m=1$ đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm phân biệt là mệnh đề sai.
b) Để kiểm tra xem đồ thị hàm số luôn đi qua điểm $A(0;1)$ hay không, ta thay tọa độ điểm $A$ vào hàm số. Khi $x=0$, ta có $y=2.0^3+(m-1).0^2+(m+2).0+1=1$. Vậy đồ thị hàm số luôn đi qua điểm $A(0;1)$, mệnh đề đúng.
c) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $x=1$ là $y=f'(1)(x-1)+f(1)$. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số: $y'=6x^2+2(m-1)x+m+2$. Tại $x=1$, ta có $y'=6+2(m-1)+m+2=8+3m$. Và $f(1)=2.1^3+(m-1).1^2+(m+2).1+1=2+m+1+m+2+1=4+2m$. Vậy phương trình tiếp tuyến là $y=(8+3m)(x-1)+4+2m=8x-8+3mx-3m+4+2m=8x+3mx-3m$. Để tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=9x-3$, ta cần có $8=9$ và $3m=3$. Tuy nhiên, điều kiện $8=9$ là vô lý. Vậy không có giá trị nào của $m$ để tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=9x-3$. Mệnh đề sai.
d) Để tìm điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu có hoành độ lớn hơn $\frac16$, ta cần tìm điều kiện để phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $\frac16$. Điều này tương đương với việc giải bất phương trình $6x^2+2(m-1)x+m+2=0$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $\frac16$. Điều này tương đương với việc tìm điều kiện cho biệt thức $\Delta=4(m-1)^2-4.6.(m+2)>0$ và nghiệm của phương trình $6x^2+2(m-1)x+m+2=0$ lớn hơn $\frac16$. Tuy nhiên, bất phương trình $\Delta>0$ luôn đúng với mọi $m$ vì $4(m-1)^2-4.6.(m+2)=4m^2-8m+4-24m-48=4m^2-32m-44=(2m-11)^2-13^2\geq -13^2>0$. Nghiệm của phương trình $6x^2+2(m-1)x+m+2=0$ là $x=\frac{-2(m-1)\pm\sqrt{4(m-1)^2-4.6.(m+2)}}{12}=\frac{-2(m-1)}{12}=\frac{-m+1}{6}$. Để nghiệm lớn hơn $\frac16$, ta cần có $\frac{-m+1}{6}>\frac16$, hay $-m+1>1$, hay $-m>0$, hay $m< 0$. Vậy có vô số giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện. Mệnh đề sai.
Vậy các mệnh đề a), c) và d) là sai. Đáp án: Sai.
Câu 9.
a) Khi $m=0$ đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Hàm số trở thành $y=-\frac{x^3}3+2x^2-3x+1$. Để tìm các giao điểm của đồ thị với trục hoành, ta giải phương trình $y=0$, tức là:
$-\frac{x^3}3+2x^2-3x+1=0.$
Nhân cả hai vế với $-3$ để khử mẫu, ta được:
$x^3-6x^2+9x-3=0.$
Đây là phương trình bậc ba, và nó có ba nghiệm phân biệt. Vậy mệnh đề a) là đúng.
b) Khi $m=0$ đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị.
Hàm số trở thành $y=-\frac{x^3}3+2x^2-3x+1$. Đạo hàm của hàm số là:
$y'=-x^2+4x-3.$
Để tìm cực trị, ta giải phương trình $y'=0$, tức là:
$-x^2+4x-3=0.$
Phương trình này có hai nghiệm phân biệt, vậy hàm số có hai điểm cực trị. Mệnh đề b) là đúng.
c) Để hàm số (1) nghịch biến trên R khi $-1\leq m\leq-\frac12$.
Hàm số (1) nghịch biến trên R khi và chỉ khi $y'=-x^2+2(m+1)x-3(m+1)\leq 0$ với mọi $x$. Điều này tương đương với $y'$ không có nghiệm hoặc có nghiệm kép. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $\Delta = (m+1)^2 - 3(m+1)(-1) = m^2 + m - 2 \leq 0$. Giải bất phương trình này, ta được $-1 \leq m \leq -\frac{1}{2}$. Vậy mệnh đề c) là đúng.
d) "Để trên đồ thị của hàm số (1) tồn tại một cặp điểm M,N (M khác N) đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O khi và chỉ khi $m< -1$".
Nếu M và N đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O thì tọa độ của M và N có dạng $(x, y)$ và $(-x, -y)$ tương ứng. Điều này xảy ra khi và chỉ khi hàm số thỏa mãn $y(-x) = -y(x)$ với mọi $x$. Thay hàm số vào điều kiện này, ta được:
$-\frac{(-x)^3}3+2(m+1)(-x)^2-3(m+1)(-x)+1 = -\left(-\frac{x^3}3+2(m+1)x^2-3(m+1)x+1\right).$
Giải điều kiện này, ta được $m < -1$. Vậy mệnh đề d) là đúng.
Tóm lại, tất cả các mệnh đề a), b), c) và d) đều đúng.