tìm tất cả các giá trị m để hàm số sau có 3 cực trị tạo thành một tam giác đêu y= x^4-2mx^2 +1

Để tìm các giá trị của \( m \) để hàm số \( y = x^4 - 2mx^2 + 1 \) có 3 cực trị tạo thành một tam giác đều, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. **Tìm đạo hàm của hàm số:** \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2mx^2 + 1) = 4x^3 - 4mx \] 2. **Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( y' = 0 \):** \[ 4x^3 - 4mx = 0 \] \[ 4x(x^2 - m) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = m \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{m} \] Do đó, các điểm cực trị là \( x = 0, \sqrt{m}, -\sqrt{m} \). 3. **Xét điều kiện để hàm số có 3 cực trị:** Để hàm số có 3 cực trị, phương trình \( y' = 0 \) phải có 3 nghiệm phân biệt, tức là \( m > 0 \). 4. **Kiểm tra điều kiện để 3 điểm cực trị tạo thành tam giác đều:** Các điểm cực trị trên đồ thị của hàm số là \( (0, 1) \), \( (\sqrt{m}, y(\sqrt{m})) \), và \( (-\sqrt{m}, y(-\sqrt{m})) \). Do hàm số chẵn, \( y(\sqrt{m}) = y(-\sqrt{m}) \). Ta tính \( y(\sqrt{m}) \): \[ y(\sqrt{m}) = (\sqrt{m})^4 - 2m(\sqrt{m})^2 + 1 = m^2 - 2m^2 + 1 = 1 - m^2 \] Do đó, các điểm cực trị là \( (0, 1) \), \( (\sqrt{m}, 1 - m^2) \), và \( (-\sqrt{m}, 1 - m^2) \). Để ba điểm này tạo thành một tam giác đều, khoảng cách giữa các điểm phải bằng nhau. Tính khoảng cách giữa các điểm: - Khoảng cách giữa \( (0, 1) \) và \( (\sqrt{m}, 1 - m^2) \): \[ d_1 = \sqrt{(\sqrt{m} - 0)^2 + ((1 - m^2) - 1)^2} = \sqrt{m + m^4} \] - Khoảng cách giữa \( (0, 1) \) và \( (-\sqrt{m}, 1 - m^2) \): \[ d_2 = \sqrt{(-\sqrt{m} - 0)^2 + ((1 - m^2) - 1)^2} = \sqrt{m + m^4} \] - Khoảng cách giữa \( (\sqrt{m}, 1 - m^2) \) và \( (-\sqrt{m}, 1 - m^2) \): \[ d_3 = \sqrt{(\sqrt{m} - (-\sqrt{m}))^2 + ((1 - m^2) - (1 - m^2))^2} = \sqrt{4m} \] Để tam giác đều: \[ \sqrt{m + m^4} = \sqrt{4m} \] \[ m + m^4 = 4m \] \[ m^4 - 3m = 0 \] \[ m(m^3 - 3) = 0 \] \[ m = 0 \quad \text{hoặc} \quad m^3 = 3 \quad \Rightarrow \quad m = \sqrt[3]{3} \] Bỏ giá trị \( m = 0 \) vì \( m > 0 \) để có 3 cực trị phân biệt, do đó: \[ m = \sqrt[3]{3} \] Vậy giá trị duy nhất của \( m \) để hàm số \( y = x^4 - 2mx^2 + 1 \) có 3 cực trị tạo thành một tam giác đều là \( m = \sqrt[3]{3} \).