giúp vs ạ(cần gấp ạ) 10. Cho tam giác PQR, các đường phân giác ngoài của góc Q và R cắt nhau tại I . Từ P kẻ các,đường thẳng vuông góc với hai đường phân giác ngoài trên, cắt cạnh OR tại điểm H và K .,Chứng minh rằng:,a) Chu vi của tam giác POR bằng HK .,b) Đường trung trực của HK đi qua điểm I ;,c) PI là tia phân giác của góc QPR.

Question

Accepted Answer

a) Gọi E;F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ P xuống hai đường phân giác ngoài trên.
Xét $\displaystyle \vartriangle $HQP có:
QE vừa là đường cao vừa là đường phân giác
Nên $\displaystyle \vartriangle $HQP cân tại Q
Do đó: HQ = QP
CMTT ta có: RK = PR
Chu vi tam giác PQR bằng:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
PQ+QR+RP=HQ+QR+RK\
=HK
\end{array}$
b) Xét $\displaystyle \vartriangle $HQP cân tại Q có:
QE là đường phân giác
Nên QE đồng thời là đường trung trực của PH
Do đó: IH = IP
CMTT ta có: IP = IK
Do đó: IH = IK
Nên I thuộc đường trung trực của HK
Hay đường trung trực của HK đi qua I
c) Kẻ IN$\displaystyle \perp $QR; IM$\displaystyle \perp $PQ; IU$\displaystyle \perp $PR
Xét $\displaystyle \vartriangle $IQM và $\displaystyle \vartriangle $IQN có:
$\displaystyle \widehat{IMQ} =\widehat{INQ} =90^{0}$
IQ chung
$\displaystyle \widehat{IQM} =\widehat{IQN}$ (do QI là tia phân giác của $\displaystyle \widehat{NQM})$
Vậy $\displaystyle \vartriangle $IQM = $\displaystyle \vartriangle $IQN (cạnh huyền, góc nhọn)
Do đó: IM = IN
CMTT ta có: IN = IU
Do đó: IM = IU
Xét $\displaystyle \vartriangle $IPM và $\displaystyle \vartriangle $IPU có:
IM = IU
IP chung
$\displaystyle \widehat{IMP} =\widehat{IUP} =90^{0}$
Vậy $\displaystyle \vartriangle $IPM = $\displaystyle \vartriangle $IPU (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Do đó $\displaystyle \widehat{MPI} =\widehat{UPI}$
Nên PI là tia phân giác của $\displaystyle \widehat{BAC}$