giúp tui vớiiiii Bài 35. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2\cos^2x-2\sqrt3\sin x\cos x+1.$,Bài 36. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\sin x+3\cos x+1}{\sin x-\cos x+2}.$,Bởi 37. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac4{2-\sin x}.$,Bởi 38. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac8{3-\cos^2x}.$

Question

Accepted Answer

Bài 35.
Đầu tiên, ta có thể biến đổi biểu thức $y$ như sau:
$$y = 2\cos^2x - 2\sqrt{3}\sin x\cos x + 1.$$
Sử dụng công thức $\cos^2x = 1 - \sin^2x$, ta có:
$$y = 2(1 - \sin^2x) - 2\sqrt{3}\sin x\cos x + 1.$$
$$y = 2 - 2\sin^2x - 2\sqrt{3}\sin x\cos x + 1.$$
$$y = 3 - 2\sin^2x - 2\sqrt{3}\sin x\cos x.$$
Sử dụng công thức $2\sin x\cos x = \sin 2x$, ta có:
$$y = 3 - 2\sin^2x - \sin 2x\sqrt{3}.$$
Đặt $t = \sin x$, ta có:
$$y = 3 - 2t^2 - t\sqrt{3}.$$
Đây là một hàm số bậc hai theo $t$, nên nó có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, ta cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $t = \sin x$, với $x \in [0, 2\pi]$.
Ta có $-1 \leq \sin x \leq 1$, nên $-1 \leq t \leq 1$.
Khi đó, ta có:
$$y = 3 - 2t^2 - t\sqrt{3}.$$
Xét hàm số $f(t) = -2t^2 - t\sqrt{3} + 3$, với $-1 \leq t \leq 1$.
Ta có $f'(t) = -4t - \sqrt{3}$.
Cho $f'(t) = 0$, ta được $t = -\frac{\sqrt{3}}{4}$.
Ta có $f(-1) = -2 + \sqrt{3} + 3 = 1 + \sqrt{3}$,
$f(1) = -2 - \sqrt{3} + 3 = 1 - \sqrt{3}$,
$f\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}ight) = -2\left(-\frac{3}{4}ight)^2 - \frac{\sqrt{3}}{4}\sqrt{3} + 3 = 3 - \frac{3}{4} - \frac{3}{4} + 3 = 3 - \frac{3}{2} + 3 = \frac{9}{2} - \frac{3}{2} = 3$.
So sánh các giá trị trên, ta thấy $y_{	ext{max}} = 1 + \sqrt{3}$ khi $t = -1$, tức là khi $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ với $k$ nguyên.
Và $y_{	ext{min}} = 1 - \sqrt{3}$ khi $t = 1$, tức là khi $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ với $k$ nguyên.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y$ là $1 + \sqrt{3}$, đạt được khi $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ với $k$ nguyên.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y$ là $1 - \sqrt{3}$, đạt được khi $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ với $k$ nguyên.

Bài 36.
Câu 37: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac4{2-\sin x}.$

Điều kiện: $2 - \sin x 
eq 0 \Leftrightarrow \sin x 
eq 2$. Vì $-1 \leq \sin x \leq 1$ nên điều kiện luôn được thỏa mãn.
Ta có: $-1 \leq \sin x \leq 1 \Rightarrow 1 \leq 2 - \sin x \leq 3$.
Do đó: $\frac{4}{3} \leq y = \frac{4}{2 - \sin x} \leq 4$.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4, giá trị nhỏ nhất là $\frac{4}{3}$.Câu 38: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac8{3-\cos^2x}$.
Điều kiện: $3 - \cos^2 x 
eq 0 \Leftrightarrow \cos^2 x 
eq 3$. Vì $0 \leq \cos^2 x \leq 1$ nên điều kiện luôn được thỏa mãn.
Ta có: $0 \leq \cos^2 x \leq 1 \Rightarrow 0 \leq 3 - \cos^2 x \leq 2$.
Do đó: $4 \leq y = \frac{8}{3 - \cos^2 x} \leq 8$.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 8, giá trị nhỏ nhất là 4.Câu 39: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\sin x+3\cos x+1}{\sin x-\cos x+2}.$
Ta có: $y = \frac{\sin x + 3\cos x + 1}{\sin x - \cos x + 2} = \frac{A}{B}$.
Đặt $A = \sin x + 3\cos x + 1$ và $B = \sin x - \cos x + 2$.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
$(1^2 + 3^2)(\sin^2 x + \cos^2 x) \geq (1.\sin x + 3.\cos x)^2 \Rightarrow 10 \geq (\sin x + 3\cos x)^2 \Rightarrow \sqrt{10} \geq |\sin x + 3\cos x|$.
Tương tự, ta có:
$(1^2 + (-1)^2)(\sin^2 x + \cos^2 x) \geq (1.\sin x + (-1).\cos x)^2 \Rightarrow 2 \geq (\sin x - \cos x)^2 \Rightarrow \sqrt{2} \geq |\sin x - \cos x|$.
Do đó:
$-\sqrt{10} \leq \sin x + 3\cos x \leq \sqrt{10}$ và $-\sqrt{2} \leq \sin x - \cos x \leq \sqrt{2}$.
Suy ra:
$-\sqrt{10} + 1 \leq A \leq \sqrt{10} + 1$ và $-\sqrt{2} + 2 \leq B \leq \sqrt{2} + 2$.
Hay:
$1 - \sqrt{10} \leq A \leq 1 + \sqrt{10}$ và $2 - \sqrt{2} \leq B \leq 2 + \sqrt{2}$.
$\frac{1 - \sqrt{10}}{2 + \sqrt{2}} \leq \frac{A}{B} \leq \frac{1 + \sqrt{10}}{2 - \sqrt{2}}$.
Tính giá trị các biểu thức trên, ta được:
$\frac{1 - \sqrt{10}}{2 + \sqrt{2}} \approx -0.1716$ và $\frac{1 + \sqrt{10}}{2 - \sqrt{2}} \approx 3.1716$.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $3.1716$, giá trị nhỏ nhất là $-0.1716$.

Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.