giúp mình nhan

Câu 59. Để biến đổi biểu thức $sin x sin 2x sin 3x$ thành tổng, ta có thể sử dụng công thức tích thành tổng: $sin a sin b = \frac{1}{2} [cos(a - b) - cos(a + b)]$ Áp dụng công thức này với $a = 2x$ và $b = x$, ta được: $sin x sin 2x = \frac{1}{2} [cos(2x - x) - cos(2x + x)] = \frac{1}{2} [cos x - cos 3x]$ Tương tự, với $a = 3x$ và $b = x$, ta có: $sin x sin 3x = \frac{1}{2} [cos(3x - x) - cos(3x + x)] = \frac{1}{2} [cos 2x - cos 4x]$ Khi đó, biểu thức $sin x sin 2x sin 3x$ trở thành: $sin x sin 2x sin 3x = \frac{1}{2} [cos x - cos 3x] \cdot sin 3x$ $= \frac{1}{2} [sin 3x \cdot cos x - sin 3x \cdot cos 3x]$ $= \frac{1}{2} [\frac{1}{2} (sin(3x + x) + sin(3x - x)) - \frac{1}{2} (sin(3x + 3x) + sin(3x - 3x))]$ $= \frac{1}{4} [sin 4x + sin 2x - \frac{1}{2} (sin 6x + sin 0)]$ $= \frac{1}{4} [sin 4x + sin 2x - \frac{1}{2} sin 6x]$ $= \frac{1}{4} sin 4x + \frac{1}{4} sin 2x - \frac{1}{8} sin 6x$ Vậy, biểu thức $sin x sin 2x sin 3x$ được biến đổi thành tổng: $sin x sin 2x sin 3x = \frac{1}{4} sin 4x + \frac{1}{4} sin 2x - \frac{1}{8} sin 6x$ Câu 60. Ta có: $\tan^2x+\cot^2x+2=\frac a{\sin^22x}$ Biến đổi $\tan^2x+\cot^2x$ thành $\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+\frac{\cos^2x}{\sin^2x}$ $=\frac{\sin^4x+\cos^4x}{\sin^2x\cos^2x}$ $=\frac{(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x}{\sin^2x\cos^2x}$ $=\frac{1-2\sin^2x\cos^2x}{\sin^2x\cos^2x}$ $=\frac{1}{\sin^2x\cos^2x}-2$ $=\frac{1}{\frac{\sin^22x}{4}}-2$ $=\frac{4}{\sin^22x}-2$ Vậy $\tan^2x+\cot^2x+2=\frac{4}{\sin^22x}-2+2=\frac{4}{\sin^22x}$ Suy ra $a=4$. Câu 61. Đầu tiên, ta sử dụng công thức tổng thành tích để biến đổi tử số và mẫu số của biểu thức $A$. Công thức tổng thành tích: $\sin a + \sin b = 2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)$ $\cos a + \cos b = 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)$ Áp dụng công thức này vào biểu thức $A$, ta có: $A = \frac{2\sin\left(\frac{x+2x}{2}\right)\cos\left(\frac{x-2x}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{2x+3x}{2}\right)\cos\left(\frac{2x-3x}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{3x+4x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x-4x}{2}\right)}{2\cos\left(\frac{x+2x}{2}\right)\cos\left(\frac{x-2x}{2}\right) + 2\cos\left(\frac{2x+3x}{2}\right)\cos\left(\frac{2x-3x}{2}\right) + 2\cos\left(\frac{3x+4x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x-4x}{2}\right)}$ $A = \frac{2(\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{7x}{2}\cos\frac{x}{2})}{2(\cos\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2} + \cos\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2} + \cos\frac{7x}{2}\cos\frac{x}{2})}$ $A = \frac{\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{7x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\cos\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2} + \cos\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2} + \cos\frac{7x}{2}\cos\frac{x}{2}}$ Sử dụng công thức tổng thành tích lần nữa, ta có: $A = \frac{\sin\left(\frac{3x+x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{3x+x}{2}\right)} = \tan\frac{4x}{2} = \tan2x$ Vậy $A = \tan2x$. Đáp án: $A = \tan2x$. Câu 62. Đầu tiên, ta sử dụng các công thức biến tổng thành tích: $\sin a + \sin b = 2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)$ $\cos a + \cos b = 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)$ Áp dụng các công thức này vào biểu thức $B$, ta có: $B = \frac{2\sin\left(\frac{2x+3x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x-2x}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{3x+4x}{2}\right)\cos\left(\frac{4x-3x}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{4x+5x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x-4x}{2}\right)}{2\cos\left(\frac{3x+4x}{2}\right)\cos\left(\frac{4x-3x}{2}\right) + 2\cos\left(\frac{4x+5x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x-4x}{2}\right)}$ $B = \frac{2\sin\left(\frac{5x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{7x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{9x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{2\cos\left(\frac{7x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) + 2\cos\left(\frac{9x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)}$ $B = \frac{2\cos\left(\frac{x}{2}\right)\left[\sin\left(\frac{5x}{2}\right) + \sin\left(\frac{7x}{2}\right) + \sin\left(\frac{9x}{2}\right)\right]}{2\cos\left(\frac{x}{2}\right)\left[\cos\left(\frac{7x}{2}\right) + \cos\left(\frac{9x}{2}\right)\right]}$ $B = \frac{\sin\left(\frac{5x}{2}\right) + \sin\left(\frac{7x}{2}\right) + \sin\left(\frac{9x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{7x}{2}\right) + \cos\left(\frac{9x}{2}\right)}$ Sử dụng công thức biến tổng thành tích lần nữa: $B = \frac{2\sin\left(\frac{\frac{5x}{2}+\frac{7x}{2}}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{7x}{2}-\frac{5x}{2}}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{\frac{7x}{2}+\frac{9x}{2}}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{9x}{2}-\frac{7x}{2}}{2}\right)}{2\cos\left(\frac{\frac{7x}{2}+\frac{9x}{2}}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{9x}{2}-\frac{7x}{2}}{2}\right)}$ $B = \frac{2\sin\left(\frac{6x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{8x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{2\cos\left(\frac{8x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)}$ $B = \frac{2\sin3x\cos\left(\frac{x}{2}\right) + 2\sin4x\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{2\cos4x\cos\left(\frac{x}{2}\right)}$ $B = \frac{2\cos\left(\frac{x}{2}\right)\left[\sin3x + \sin4x\right]}{2\cos\left(\frac{x}{2}\right)\left[\cos4x\right]}$ $B = \frac{\sin3x + \sin4x}{\cos4x}$ Sử dụng công thức biến tổng thành tích một lần nữa: $B = \frac{2\sin\left(\frac{3x+4x}{2}\right)\cos\left(\frac{4x-3x}{2}\right)}{2\cos\left(\frac{4x+3x}{2}\right)\cos\left(\frac{4x-3x}{2}\right)}$ $B = \frac{2\sin\left(\frac{7x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{2\cos\left(\frac{7x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)}$ $B = \frac{\sin\left(\frac{7x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{7x}{2}\right)}$ $B = \tan\left(\frac{7x}{2}\right)$ Vậy $B = \tan\left(\frac{7x}{2}\right)$. Đáp án: $B = \tan\left(\frac{7x}{2}\right)$.