a) Cho các số thực x, y, thỏa mãn x + y + z = 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x(2x + z) + y(6y + z)

Đầu tiên, ta có thể viết lại biểu thức P như sau: P = x(2x + z) + y(6y + z) = 2x^2 + xz + 6y^2 + yz. Ta có x + y + z = 3, nên ta có thể biểu diễn z = 3 - x - y. Thay z vào P, ta được: P = 2x^2 + x(3 - x - y) + 6y^2 + y(3 - x - y) = 2x^2 + 3x - x^2 - xy + 6y^2 + 3y - xy - y^2 = x^2 + xy + 5y^2 + 3x + 3y. Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta có thể sử dụng phương pháp miền giá trị. Xét biểu thức Q = x^2 + xy + 5y^2 + 3x + 3y. Ta có: Q = (x^2 + 2xy + y^2) + 4y^2 + 3x + 3y = (x + y)^2 + 4y^2 + 3x + 3y. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: (x + y)^2 ≤ 2(x^2 + y^2), 4y^2 ≥ 0, 3x + 3y ≥ 0. Cộng các bất đẳng thức trên lại, ta được: Q ≥ 0. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y. Thay x = y vào x + y + z = 3, ta được: 2x + z = 3, suy ra z = 3 - 2x. Thay z = 3 - 2x vào P, ta được: P = x(2x + 3 - 2x) + x(6x + 3 - 2x) = 3x^2 + 3x. Đạo hàm của P theo x: P'(x) = 6x + 3. P'(x) = 0 khi x = -1/2. Tuy nhiên, x = -1/2 không thỏa mãn điều kiện xác định x ≥ 0. Do đó, ta chỉ cần xét các giá trị x = 0 và x = 1. Khi x = 0, y = 1, z = 2, ta có P = 0 + 6 = 6. Khi x = 1, y = 1, z = 1, ta có P = 2 + 7 = 9. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6, đạt được khi x = 0, y = 1, z = 2.