Giúp mình với! Giải chi tiết càng tốt ạ!!

Câu 13: Đây là một bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của một hàm số trên một khoảng hoặc nửa khoảng. Để tìm GTLN của hàm số $f(n)=-20n^2+480n$ trên nửa khoảng $(0;+\infty)$, chúng ta có thể sử dụng phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $f(n)$. $f'(n) = -40n + 480$. Bước 2: Tìm nghiệm của đạo hàm $f'(n) = 0$. $-40n + 480 = 0 \Rightarrow n = \frac{480}{40} = 12$. Bước 3: Xét dấu đạo hàm $f'(n)$ và kết luận GTLN của hàm số $f(n)$. Ta có bảng xét dấu: |---|---|---| | n | 0 | 12 | +∞ | |---|---|---| | $f'(n)$ | + | 0 | - | |---|---|---| Từ bảng xét dấu, ta thấy $f'(n) > 0$ khi $0 < n < 12$ và $f'(n) < 0$ khi $n > 12$. Do đó, hàm số $f(n)$ đạt GTLN tại $n = 12$. Bước 4: Tính giá trị của hàm số $f(n)$ tại $n = 12$. $f(12) = -20.(12)^2 + 480.12 = -20.144 + 5760 = -2880 + 5760 = 2880$. Vậy GTLN của hàm số $f(n)$ trên nửa khoảng $(0;+\infty)$ là $2880$. Đáp án: B. Câu 14: Đầu tiên, hàm số $f(x)=\frac1{40}x^2(30-x)$ xác định và có nghĩa với mọi $x$ thuộc nửa khoảng $(0;+\infty)$. Bước tiếp theo, tìm cực trị của hàm số bằng cách tính đạo hàm và đặt đạo hàm bằng 0. $f'(x) = \frac1{40}(60x - x^2 - 30x) = \frac1{40}(30x - x^2) = 0 \Rightarrow x = 15$. Bước tiếp theo, kiểm tra xem giá trị $x = 15$ có làm cho đạo hàm đổi dấu hay không. $f''(x) = \frac1{40}(30 - 2x) < 0$ với mọi $x > 0$. Vậy $x = 15$ là điểm cực đại của hàm số. Bước tiếp theo, tính giá trị cực đại của hàm số tại $x = 15$. $f(15) = \frac1{40}.15^2.(30 - 15) = \frac1{40}.225.15 = 84.375$. Bước cuối cùng, so sánh các giá trị của hàm số tại các điểm biên của nửa khoảng $(0;+\infty)$, đó là $x = 0$ và $x \to +\infty$. Khi $x = 0$, $f(0) = 0$. Khi $x \to +\infty$, $f(x) = \frac1{40}x^2(30 - x) \to -\infty$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên nửa khoảng $(0;+\infty)$ là $84.375$, tương ứng với $x = 15$. So sánh với các đáp án, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số là $84.375$, tương ứng với $x = 15$. Đáp án: A. Câu 15: Đầu tiên, hàm số đã cho xác định và có nghĩa với mọi $x \in [-1;+\infty)$. Bước tiếp theo, tìm đạo hàm của hàm số: $y'=3x^2-12x+9$. Tìm nghiệm của đạo hàm: $y'=0 \Leftrightarrow 3x^2-12x+9=0 \Leftrightarrow x^2-4x+3=0 \Leftrightarrow (x-1)(x-3)=0$. Suy ra nghiệm $x=1$ và $x=3$. Bây giờ, ta xét hàm số trên nửa khoảng $[-1;+\infty)$ và tính giá trị của hàm số tại các điểm $x=-1$, $x=1$, $x=3$ và khi $x$ tiến tới $+\infty$: - Tại $x=-1$, $y=(-1)^3-6(-1)^2+9(-1)-1=-1-6-9-1=-17$. - Tại $x=1$, $y=1^3-6.1^2+9.1-1=1-6+9-1=3$. - Tại $x=3$, $y=3^3-6.3^2+9.3-1=27-54+27-1=1$. - Khi $x$ tiến tới $+\infty$, $y=x^3-6x^2+9x-1$ cũng tiến tới $+\infty$. So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nửa khoảng $[-1;+\infty)$ là $1$. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^3-6x^2+9x-1$ trên nửa khoảng $[-1;+\infty)$ là $1$. Đáp án: A. Câu 16: Đầu tiên, hàm số $y=x^2+\frac2x$ xác định và có nghĩa với mọi $x$ thuộc nửa khoảng $(0;+\infty)$. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nửa khoảng $(0;+\infty)$, ta có thể sử dụng phương pháp tìm cực trị của hàm số. Xét hàm số $y=x^2+\frac2x$, ta có: $y'(x) = 2x - \frac2{x^2}$. Cho $y'(x) = 0$ ta được: $2x - \frac2{x^2} = 0 \Rightarrow 2x^3 - 2 = 0 \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1$. Ta có: $y''(x) = 2 + \frac4{x^3}$. Thay $x = 1$ vào $y''(x)$ ta được: $y''(1) = 2 + 4 = 6 > 0$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$. Thay $x = 1$ vào hàm số ta được: $y(1) = 1^2 + \frac21 = 1 + 2 = 3$. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^2+\frac2x$ trên nửa khoảng $(0;+\infty)$ là 3. Đáp án: C. Câu 17: Đầu tiên, hàm số $f(x)=x^2+\frac{2000}x$ xác định và có nghĩa với mọi $x \in (0;10\sqrt5)$. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(0;10\sqrt5)$, ta có thể sử dụng các tính chất của hàm số và đạo hàm. Ta có thể tính đạo hàm của hàm số $f(x)$: $f'(x) = 2x - \frac{2000}{x^2}.$ Giải phương trình $f'(x) = 0$ ta được: $2x - \frac{2000}{x^2} = 0 \Rightarrow 2x^3 - 2000 = 0 \Rightarrow x^3 = 1000 \Rightarrow x = 10.$ Ta thấy $x = 10$ thuộc khoảng $(0;10\sqrt5)$. Tính giá trị của hàm số tại $x = 10$: $f(10) = 10^2 + \frac{2000}{10} = 100 + 200 = 300.$ Tính giá trị của hàm số tại các đầu mút của khoảng $(0;10\sqrt5)$, tức là tại $x = 0$ và $x = 10\sqrt5$: $f(0) = \text{không xác định},$ $f(10\sqrt5) = (10\sqrt5)^2 + \frac{2000}{10\sqrt5} = 500 + 200 = 700.$ So sánh các giá trị $f(10) = 300$, $f(0)$ và $f(10\sqrt5) = 700$, ta thấy giá trị nhỏ nhất là $300$. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^2+\frac{2000}x$ trên khoảng $(0;10\sqrt5)$ là $300$. Đáp án: D. Câu 18: Đầu tiên, hàm số $f(x) = 2x^2 + \frac{500}{x}$ xác định và có nghĩa với mọi $x \in (0; +\infty)$. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(0; +\infty)$, ta có thể sử dụng các tính chất của hàm số và đạo hàm. Ta tính đạo hàm của hàm số $f(x)$: $f'(x) = 4x - \frac{500}{x^2}.$ Đạo hàm $f'(x)$ bằng $0$ khi và chỉ khi: $4x - \frac{500}{x^2} = 0 \Leftrightarrow 4x^3 - 500 = 0 \Leftrightarrow x^3 = \frac{500}{4} = 125 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{125} = 5.$ Ta xét dấu của đạo hàm $f'(x)$ trên khoảng $(0; +\infty)$: - Với $x \in (0; 5)$, ta có $f'(x) < 0$, do đó hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(0; 5)$. - Với $x \in (5; +\infty)$, ta có $f'(x) > 0$, do đó hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(5; +\infty)$. Từ đó, suy ra $f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 5$. Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số tại $x = 5$: $f(5) = 2(5)^2 + \frac{500}{5} = 50 + 100 = 150.$ Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên khoảng $(0; +\infty)$ là $150$. Đáp án: D. Câu 19: Đầu tiên, hàm số $f(x)$ xác định với mọi $x \neq 4$. Đạo hàm của $f(x)$ là: $f'(x) = \frac{x^3(x-4) - x^3}{(x-4)^2} = \frac{x^3 - 4x^3}{(x-4)^2} = \frac{-3x^3}{(x-4)^2}.$ Dấu của $f'(x)$ phụ thuộc vào dấu của $-3x^3$, vì $(x-4)^2 > 0$ với mọi $x \neq 4$. Với $x \in (0;4)$, ta có $-3x^3 < 0$, do đó $f'(x) < 0$. Với $x \in (4;8)$, ta có $-3x^3 < 0$, do đó $f'(x) < 0$. Vậy hàm số $f(x)$ nghịch biến trên các khoảng $(0;4)$ và $(4;8)$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên khoảng $(0;8)$ đạt được tại $x = 8$. Thay $x = 8$ vào $f(x)$, ta được: $f(8) = \frac{8^3}{8-4} = \frac{512}{4} = 128.$ Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên khoảng $(0;8)$ là $128$. Đáp án: B. Câu 20: Đầu tiên, hàm số $f(x)$ xác định với mọi $x \in (0; +\infty)$. Ta có: $f'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$. Cho $f'(x) = 0$ thì $1 - x^2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$. Lập bảng biến thiên, ta thấy $f(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = 1$. Thay $x = 1$ vào $f(x)$, ta được $f(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$. Vậy giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên nửa khoảng $(0; +\infty)$ là $\frac{1}{2}$. Đáp án: B.