giứp mình với

Câu 1. Đầu tiên, ta cần tìm $\cos x$. Vì $\frac{\pi}{2} < x < \pi$, nên $\cos x$ là âm. Ta có $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, nên $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$. Do đó, $\cos x = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{2\sqrt{6}}{5}$. Sau đó, ta tính $\sin 2x$ và $\cos 2x$. $\sin 2x = 2\sin x \cos x = 2 \cdot \frac{1}{5} \cdot -\frac{2\sqrt{6}}{5} = -\frac{4\sqrt{6}}{25}$. $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2\left(-\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{24}{25} - 1 = \frac{48}{25} - 1 = \frac{23}{25}$. Cuối cùng, ta tính $\cot 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \frac{\frac{23}{25}}{-\frac{4\sqrt{6}}{25}} = -\frac{23}{4\sqrt{6}} = -\frac{23\sqrt{6}}{24}$. Vậy, $\cot 2x = -\frac{23\sqrt{6}}{24}$. Câu 2. Ta có $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$. Từ $\sin\alpha = \frac{1}{3}$, vì $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, nên $\cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - \frac{1}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Từ $\cos\beta = -\frac{2}{3}$, vì $\pi > \beta > \frac{\pi}{2}$, nên $\sin\beta = \sqrt{1 - \cos^2\beta} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Thay vào công thức trên, ta có $\sin(\alpha+\beta) = \frac{1}{3} \cdot -\frac{2}{3} + -\frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = -\frac{2}{9} - \frac{2\sqrt{10}}{9} = -\frac{2(1 + \sqrt{10})}{9}$. Vậy $\sin(\alpha+\beta) = -\frac{2(1 + \sqrt{10})}{9}$. Câu 3. Vì $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ hai nên $\cos\alpha$ âm. Theo định lý Pythagore, ta có: \[\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.\] Do $\cos\alpha$ âm nên $\cos\alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$. Vậy $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$. Câu 4. Với $(180^0< \alpha< 270^0)$, ta biết rằng $\sin\alpha$ là âm. Điều này có nghĩa là $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ 3 hoặc thứ 4 trong hệ tọa độ đề các. Bây giờ, ta sử dụng công thức $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ để tìm $\cos\alpha$. Thay $\sin\alpha=-\frac13$ vào công thức, ta được: $\cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac13\right)^2 = 1 - \frac19 = \frac89.$ Vì $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ 3 hoặc thứ 4, nên $\cos\alpha$ là âm. Do đó, ta có: $\cos\alpha = -\sqrt{\frac89} = -\frac{2\sqrt2}{3}.$ Vậy, $\cos\alpha = -\frac{2\sqrt2}{3}$. Câu 5. Ta có công thức biến đổi tích thành tổng: \[\cos(a+b)\cos(a-b) = \frac{1}{2}[\cos(2a) + \cos(2b)].\] Tính $\cos(2a)$ và $\cos(2b)$ theo $\cos a$ và $\cos b$: \[\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1 = 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 1 = -\frac{1}{9},\] \[\cos(2b) = 2\cos^2 b - 1 = 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 - 1 = -\frac{7}{8}.\] Thay vào biểu thức $P$, ta được: \[P = \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{9} - \frac{7}{8}\right] = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{9} - \frac{63}{72}\right) = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{9} - \frac{7}{8}\right) = \frac{1}{2}\left(-\frac{8+63}{72}\right) = \frac{1}{2}\left(-\frac{71}{72}\right) = -\frac{71}{144}.\] Vậy $P = -\frac{71}{144}$. Câu 6. Ta có $\tan a = \frac{1}{7}$ và $\tan b = \frac{3}{4}$. Áp dụng công thức $\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$, ta có: $\tan(a+b) = \frac{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4}} = \frac{\frac{4+21}{28}}{\frac{28-3}{28}} = \frac{25}{25} = 1$. Suy ra $a+b = \arctan 1 = 45^\circ$. Vậy $a+b = 45^\circ$. Câu 7. Đầu tiên, ta có: $\tan B\sin^2C=\tan C\sin^2B.$ Biến đổi vế trái, ta có: $\frac{\sin B}{\cos B}\sin^2C=\frac{\sin C}{\cos C}\sin^2B.$ Nhân cả hai vế với $\cos B\cos C$, ta được: $\sin B\sin^2C=\sin C\sin^2B.$ Sử dụng công thức nhân đôi, ta có: $\sin B(1-\cos^2C)=\sin C(1-\cos^2B).$ Biến đổi tiếp, ta có: $\sin B-\sin B\cos^2C=\sin C-\sin C\cos^2B.$ Hay: $\sin B-\sin B\cos^2C=\sin C-\sin C\cos^2B.$ Rút gọn, ta được: $\sin B\cos^2C=\sin C\cos^2B.$ Chia cả hai vế cho $\sin B\sin C$, ta được: $\frac{\cos^2C}{\sin C}=\frac{\cos^2B}{\sin B}.$ Hay: $\frac{\cos^2C}{\sin C}=\frac{\cos^2B}{\sin B}.$ Sử dụng công thức $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, ta có: $\tan^2C=\tan^2B.$ Suy ra: $\tan B=\tan C.$ Do đó, $B=C$. Vậy tam giác ABC cân tại A. Đáp án: A. Câu 8. Đầu tiên, ta cần biến đổi biểu thức $C=\tan3x-\tan x-\frac{2\sin x}{\cos3x}$ về dạng đơn giản hơn. Ta biết rằng $\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}$, nên ta có thể biến đổi $\tan3x$ và $\frac{2\sin x}{\cos3x}$ như sau: $\tan3x = \frac{\sin3x}{\cos3x}$ $\frac{2\sin x}{\cos3x} = 2\frac{\sin x}{\cos3x}$ Thay vào biểu thức $C$, ta được: $C = \frac{\sin3x}{\cos3x} - \frac{\sin x}{\cos x} - 2\frac{\sin x}{\cos3x}$ Để rút gọn biểu thức này, ta cần biết các công thức lượng giác sau: 1. $\sin3x = 3\sin x - 4\sin^3x$ 2. $\cos3x = 4\cos^3x - 3\cos x$ Thay các công thức này vào biểu thức $C$, ta được: $C = \frac{3\sin x - 4\sin^3x}{4\cos^3x - 3\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x} - 2\frac{\sin x}{4\cos^3x - 3\cos x}$ Chú ý rằng $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$, nên ta có: $C = \frac{3\sin x - 4\sin^3x}{4\cos^3x - 3\cos x} - \tan x - 2\frac{\sin x}{4\cos^3x - 3\cos x}$ Ta thấy các phân thức ở các số hạng đều có mẫu là $4\cos^3x - 3\cos x$, nên ta có thể đặt chung mẫu: $C = \frac{3\sin x - 4\sin^3x - \sin x(4\cos^3x - 3\cos x) - 2\sin x}{4\cos^3x - 3\cos x}$ Rút gọn tử số: $C = \frac{3\sin x - 4\sin^3x - 4\sin x\cos^3x + 3\sin x\cos x - 2\sin x}{4\cos^3x - 3\cos x}$ $C = \frac{3\sin x - 4\sin^3x - 4\sin x\cos^3x + 3\sin x\cos x - 2\sin x}{4\cos^3x - 3\cos x}$ $C = \frac{- 4\sin^3x - 4\sin x\cos^3x + 3\sin x\cos x - \sin x}{4\cos^3x - 3\cos x}$ $C = \frac{-\sin x(4\sin^2x + 4\cos^3x - 3\cos x)}{4\cos^3x - 3\cos x}$ Rút gọn: $C = -\sin x$ Vậy, rút gọn của biểu thức $C$ là: $C = -\sin x$ Đáp án: $C = -\sin x$. Câu 9. Ta biến đổi biểu thức $4\sin3x\sin2x\cos x$ như sau: $4\sin3x\sin2x\cos x = 2.2\sin3x\sin2x\cos x = 2[\sin(3x+2x) - \sin(3x-2x)]\cos x$ $= 2[\sin5x - \sin x]\cos x = 2\sin5x\cos x - 2\sin x\cos x$ $= \sin 5x\cdot 2\cos x - \sin x\cdot 2\cos x = \sin 5x\sin 2x - \sin x\sin 2x$. Vậy biểu thức $4\sin3x\sin2x\cos x$ được biến đổi thành tổng là $\sin 5x\sin 2x - \sin x\sin 2x$. Câu 10. Đầu tiên, sử dụng công thức nhân đôi và nhân ba để biến đổi vế trái của phương trình: \[cos~ x \cos(\frac\pi3-x)\cos(\frac\pi3+x) = \frac{1}{2}[cos(2x + \frac\pi3) + cos(2x - \frac\pi3)] \cdot \cos(\frac\pi3+x).\] Tiếp tục sử dụng công thức nhân đôi để biến đổi: \[\frac{1}{2}[cos(2x + \frac\pi3) + cos(2x - \frac\pi3)] \cdot \cos(\frac\pi3+x) = \frac{1}{4}[cos(3x + \frac\pi3) + cos(x + \frac\pi3) + cos(3x - \frac\pi3) + cos(x - \frac\pi3)].\] Cuối cùng, sử dụng công thức biến tổng thành tích để biến đổi: \[\frac{1}{4}[cos(3x + \frac\pi3) + cos(x + \frac\pi3) + cos(3x - \frac\pi3) + cos(x - \frac\pi3)] = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot cos~3x \cdot cos(\frac\pi3) = \frac{1}{4} \cdot cos~3x = \frac{1}{4}k\cos3x.\] So sánh hai vế, ta thấy $k = \frac{1}{4}$. Vậy $k = \frac{1}{4}$. Câu 11. Đầu tiên, ta có thể sử dụng công thức biến tích thành tổng để biến đổi biểu thức $\sin5x-2\sin x(\cos4x+\cos2x)$. Công thức biến tích thành tổng là: $\sin a \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)]$ và $\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]$. Áp dụng công thức này vào biểu thức $\sin5x-2\sin x(\cos4x+\cos2x)$, ta có: $\sin5x-2\sin x(\cos4x+\cos2x) = \sin5x - 2\sin x(\frac{1}{2}[\cos(4x+2x) + \cos(4x-2x)]) = \sin5x - \sin x(\cos6x + \cos2x)$. Tiếp tục sử dụng công thức biến tích thành tổng để biến đổi $\sin5x - \sin x(\cos6x + \cos2x)$: $\sin5x - \sin x(\cos6x + \cos2x) = \sin5x - [\frac{1}{2}(\sin(6x+2x) + \sin(6x-2x))] = \sin5x - \frac{1}{2}(\sin8x + \sin4x)$. Tiếp tục biến đổi: $\sin5x - \frac{1}{2}(\sin8x + \sin4x) = \sin5x - \frac{1}{2}\sin8x - \frac{1}{2}\sin4x$. So sánh với biểu thức $k\sin x$, ta thấy: $k\sin x = \sin5x - \frac{1}{2}\sin8x - \frac{1}{2}\sin4x$. Từ đây, ta có thể suy ra $k = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$. Vậy $k = 0$.