Câu 3: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G và O là một điểm bất kỳ. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD. Giải chi tiết các mệnh đề a) OG= 1/4 ( OA+OB+ОС+OD) b)GA+ GB + GC + GD = JI c) AG = 2/3...

Câu 3: a) OG= 1/4 ( OA+OB+ОС+OD) Đây là một tính chất của trọng tâm trong tứ diện. Trọng tâm G của tứ diện ABCD là điểm thỏa mãn: OG = 1/4 ( OA+OB+ОС+OD) b)GA+ GB + GC + GD = JI Ta có: GA + GB + GC + GD = 4GI (vì G là trọng tâm tứ diện ABCD, I là trung điểm của AB). Mặt khác, JI = 1/2 (JA + JB) (vì J là trung điểm của CD). Từ đó, ta có: 4GI = 2JI hay GA + GB + GC + GD = JI. c) AG = 2/3 (BA+ AC + AD) Đây là một tính chất của trọng tâm trong tứ diện. Trọng tâm G của tứ diện ABCD thỏa mãn: AG = 2/3 (GA + GB + GC) Mà GA + GB + GC = -GD (do GA + GB + GC + GD = 0), nên: AG = 2/3 (-GD) = 2/3 (AD + DB + DC) = 2/3 (BA + AC + AD). d) OG =1/2 (OI + OJ). Đây là một tính chất của trọng tâm trong tam giác. Trọng tâm G của tam giác OIJ thỏa mãn: OG = 1/3 (OI + OJ). Tuy nhiên, đây là một mệnh đề sai. Trọng tâm G của tam giác OIJ thỏa mãn: OG = 1/3 (OI + OJ), nhưng đây không phải là mệnh đề d. Vậy chỉ có mệnh đề a và mệnh đề b là đúng. Câu 3: a) Đây là một tính chất của trọng tâm trong tứ diện. Vectơ vị trí của trọng tâm G được tính bởi công thức: $\overrightarrow{OG}=\frac14(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$ Vậy mệnh đề a) là đúng. b) Ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$ (vì G là trọng tâm của tứ diện ABCD). Mặt khác, $\overrightarrow{JI}$ là vectơ vị trí của trung điểm J của CD so với trung điểm I của AB. Theo tính chất trung điểm, ta có: $\overrightarrow{JI}=\frac12(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JD})$ Tuy nhiên, $\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{0}$ (vì J là trung điểm của CD). Vậy mệnh đề b) là sai. c) Đây là một tính chất của trọng tâm trong tứ diện. Vectơ vị trí của trọng tâm G được tính bởi công thức: $\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{GA}$ Mặt khác, $\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}$ Từ đây ta có: $\overrightarrow{AG}=\frac23(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$ Vậy mệnh đề c) là đúng. d) Đây là một tính chất của trọng tâm trong tứ diện. Vectơ vị trí của trọng tâm G được tính bởi công thức: $\overrightarrow{OG}=\frac12(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ})$ Vậy mệnh đề d) là đúng.