cho tứ giác ABCD có các đường phân giác của các góc A , B, C, D đôi một cắt nhau tại M, N, P, Q. Chứng Minh Rằng tứ giác MNPQ là tứ giác có tổng các góc đối diện bù nhau

Xét $\displaystyle \vartriangle $AMB có: $\displaystyle \widehat{A_{2}} +\widehat{B_{2}} +\widehat{M_{1}} =180^{0}$
Suy ra $\displaystyle \widehat{M_{1}} =180^{0} -\widehat{A_{2}} -\widehat{B_{2}}$
Xét $\displaystyle \vartriangle $CPD có: $\displaystyle \widehat{C_{2}} +\widehat{D_{2}} +\widehat{P_{1}} =180^{0}$
Suy ra $\displaystyle \widehat{P_{1}} =180^{0} -\widehat{C_{2}} -\widehat{D_{2}}$
Ta có: $\displaystyle \widehat{M_{1}} +\widehat{P_{1}} =360^{0} -\left(\widehat{A_{2}} +\widehat{B_{2}} +\widehat{C_{2}} +\widehat{D_{2}}\right)$
Mà $\displaystyle \widehat{A_{2}} =\frac{1}{2}\widehat{BAD} ;\ \widehat{B_{2}} =\frac{1}{2}\widehat{ABC} ;\widehat{C_{2}} =\frac{1}{2}\widehat{BCD} ;\widehat{D_{2}} =\frac{1}{2}\widehat{ADC}$
Do đó: $\displaystyle \widehat{M_{1}} +\widehat{P_{1}} =360^{0} -\frac{1}{2} .(\widehat{BAD} +\widehat{ABC} +\widehat{BCD} +\widehat{ADC})$
Mà $\displaystyle \widehat{BAD} +\widehat{ABC} +\widehat{BCD} +\widehat{ADC} =360^{0}$ (4 góc của tứ giác ABCD) 
Suy ra: 
$\displaystyle \widehat{M_{1}} +\widehat{P_{1}} =360^{0} -\frac{1}{2} .360^{0} =180^{0}$ 
CMTT ta có: $\displaystyle \widehat{N_{1}} +\widehat{G_{1}} =180^{0}$