cho tam giác abc vuông tại a có ab, ac tỉ lệ với 5; 6 và bc= 122 cm. tính độ dài hình chiếu của ab, ac trên bc

Để giải bài toán này, ta cần tìm độ dài hình chiếu của các cạnh \( AB \) và \( AC \) trên cạnh \( BC \) của tam giác vuông \( ABC \). Bước 1: Xác định độ dài các cạnh \( AB \) và \( AC \) Vì \( AB \) và \( AC \) tỉ lệ với 5 và 6, ta có thể đặt: - \( AB = 5k \) - \( AC = 6k \) Với \( k \) là một hằng số dương. Bước 2: Sử dụng định lý Pythagore Trong tam giác vuông \( ABC \) vuông tại \( A \), theo định lý Pythagore, ta có: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] Thay các giá trị đã đặt vào, ta có: \[ 122^2 = (5k)^2 + (6k)^2 \] Tính toán: \[ 14884 = 25k^2 + 36k^2 \] \[ 14884 = 61k^2 \] Giải phương trình này để tìm \( k^2 \): \[ k^2 = \frac{14884}{61} \] \[ k^2 = 244 \] Suy ra: \[ k = \sqrt{244} = 2\sqrt{61} \] Bước 3: Tính độ dài \( AB \) và \( AC \) Từ \( k = 2\sqrt{61} \), ta có: \[ AB = 5k = 5 \times 2\sqrt{61} = 10\sqrt{61} \] \[ AC = 6k = 6 \times 2\sqrt{61} = 12\sqrt{61} \] Bước 4: Tính độ dài hình chiếu của \( AB \) và \( AC \) trên \( BC \) Trong tam giác vuông, độ dài hình chiếu của một cạnh góc vuông lên cạnh huyền bằng tích của cạnh đó với cosin của góc đối diện cạnh còn lại. - Hình chiếu của \( AB \) trên \( BC \) là \( AC \cdot \cos(\angle BAC) \) - Hình chiếu của \( AC \) trên \( BC \) là \( AB \cdot \cos(\angle BAC) \) Tuy nhiên, trong tam giác vuông, hình chiếu của một cạnh góc vuông lên cạnh huyền cũng có thể được tính bằng cách sử dụng tỉ lệ giữa cạnh đó và cạnh huyền. Do đó, hình chiếu của \( AB \) trên \( BC \) là: \[ \frac{AB}{BC} \times BC = \frac{10\sqrt{61}}{122} \times 122 = 10\sqrt{61} \] Hình chiếu của \( AC \) trên \( BC \) là: \[ \frac{AC}{BC} \times BC = \frac{12\sqrt{61}}{122} \times 122 = 12\sqrt{61} \] Vậy độ dài hình chiếu của \( AB \) trên \( BC \) là \( 10\sqrt{61} \) cm và của \( AC \) trên \( BC \) là \( 12\sqrt{61} \) cm.