Cho tam giác ABC nhọn. AB<AC.M,N lần lượt là các trung điểm của AB,AC a,Trên tia đối NM lấy Ở để NO=NM.c/m BMNC là hình thang và MN=BC/2 b,AH vuông góc vs BC.K là điểm đối xứng H qua M .C/m AHBK là hìn...

God ✓

Dưới đây là lời giải rõ ràng, từng phần (không in đậm, không giải thích dài dòng thừa):

Gọi ABC tam giác nhọn, AB < AC. M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

a) Chứng minh BMNC là hình thang và MN = BC/2.

Vì M, N là trung điểm của AB và AC nên theo định lý đường trung bình trong tam giác ABC ta có: MN ∥ BC và MN = (1/2)·BC.

Do đó đoạn MN song song với BC nên tứ giác BMNC có hai cạnh đối song song (MN ∥ BC) nên BMNC là hình thang (hai đáy là MN và BC).

Và đồng thời MN = BC/2 (kết luận theo định lý đường trung bình).

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC (AH ⟂ BC). K là điểm đối xứng của H qua M (tức M là trung điểm của HK). Chứng minh AHBK là hình chữ nhật.

Vì M là trung điểm của AB và M cũng là trung điểm của HK (theo giả thiết K đối xứng H qua M) nên

 $\vec H+\vec K=\vec A+\vec B$ ⇒ $\vec K-\vec A=\vec B-\vec H$.

 Do đó $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{BH}$, suy ra AK ∥ BH và AK = BH.

 Tương tự $\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AH}$ ⇒ BK ∥ AH và BK = AH.

H nằm trên BC (AH là đường cao), nên BH nằm trên BC. Vì AH ⟂ BC nên AH ⟂ BH.

Từ trên suy ra: AH ⟂ HB và đồng thời AK ∥ BH, BK ∥ AH. Vậy trong tứ giác AHBK hai cạnh kề nhau vuông góc và các cạnh đối song song, nên AHBK là hình chữ nhật.

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh MNIH là hình thang cân.

Vì N là trung điểm AC và M là trung điểm AB nên MN ∥ BC (định lý đường trung bình). H nằm trên BC và I là trung điểm BC nên đoạn IH nằm trên BC. Do đó MN ∥ IH, nên MNIH là hình thang (MN và IH là hai đáy song song).

Còn để chứng minh hình thang đó là cân, cần chỉ ra hai cạnh bên bằng nhau, tức MI = NH.

 Ta làm nhanh bằng tọa độ: chọn hệ trục với BC là trục Ox, B(0,0), C(c,0), A(x, y) với $y>0$. Khi đó

 M là trung điểm AB ⇒ $M\big(\tfrac{x}{2},\tfrac{y}{2}\big)$,

 N là trung điểm AC ⇒ $N\big(\tfrac{x+c}{2},\tfrac{y}{2}\big)$,

 I là trung điểm BC ⇒ $I\big(\tfrac{c}{2},0\big)$,

 H (hình chiếu của A lên BC) có toạ độ $H(x,0)$.

 Tính khoảng cách:

 $MI^2=\big(\tfrac{x-c}{2}\big)^2+\big(\tfrac{y}{2}\big)^2$,

 $NH^2=\big(\tfrac{x+c}{2}-x\big)^2+\big(\tfrac{y}{2}\big)^2=\big(\tfrac{c-x}{2}\big)^2+\big(\tfrac{y}{2}\big)^2.$

 Hai biểu thức bằng nhau nên $MI=NH$.

Vì hai cạnh bên MI và NH bằng nhau và hai đáy song song nên hình thang MNIH là hình thang cân.

Kết luận:

a) BMNC là hình thang, MN = BC/2.

b) AHBK là hình chữ nhật.

c) MNIH là hình thang cân.