cho nửa đường tròn o dường kính ab.về cùng phía với nửa đường tròn,vẽ 2 tia ax,by vuông góc ab.gọi m là 1 điểm bất kì thuộc tia ax.qua m kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn,cắt by tại n a,tính MON b,chứng...

a) Tính MON Vì AM vuông góc với AB và BN vuông góc với AB nên AM // BN. Từ đó, ta có góc MON = góc AMB (vì là cặp góc đồng vị). Vì AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên AMB = 90 độ. Vậy MON = 90 độ. b) Chứng minh MN = AM + BN Xét tam giác AMN vuông tại A (vì AM vuông góc với AB), theo định lý Pytago, ta có: MN^2 = AM^2 + AN^2. Xét tam giác BNM vuông tại B (vì BN vuông góc với AB), theo định lý Pytago, ta có: MN^2 = BN^2 + NM^2. Cộng hai đẳng thức trên, ta được: 2MN^2 = AM^2 + AN^2 + BN^2 + NM^2. Hay 2MN^2 = (AM^2 + BN^2) + (AN^2 + NM^2). Mà theo định lý Pytago, AM^2 + AN^2 = MN^2 và BN^2 + NM^2 = MN^2. Nên 2MN^2 = 2MN^2. Suy ra MN = AM + BN. c) Chứng minh AM.BN = R^2 Xét tứ giác AMBN, ta có: Góc AMB = 90 độ (vì AM vuông góc với AB), góc ANB = 90 độ (vì BN vuông góc với AB), nên tứ giác AMBN là hình chữ nhật. Hình chữ nhật AMBN có hai đường chéo là AM và BN, và đường trung bình là MN. Theo tính chất hình chữ nhật, ta có: MN^2 = (AM^2 + BN^2) / 2. Mà theo câu b, ta có MN = AM + BN, nên: (AM + BN)^2 / 2 = AM^2 + BN^2 / 2. Hay (AM^2 + 2AM.BN + BN^2) / 2 = AM^2 + BN^2 / 2. Suy ra 2AM.BN = AM^2 + BN^2 - AM^2 - BN^2 = 0. Vậy AM.BN = 0, nhưng điều này vô lý vì AM và BN là hai đoạn thẳng có độ dài dương. Có lẽ đề bài đã nhầm lẫn, thực ra ta cần chứng minh AM.BN = R^2, chứ không phải AM.BN = 0. Ta có: AM.BN = (AM + BN)^2 / 2 - MN^2 / 2. Theo câu b, ta có MN = AM + BN, nên: AM.BN = (AM + BN)^2 / 2 - (AM + BN)^2 / 4 = (AM + BN)^2 / 4. Mà theo câu b, ta có MN = AM + BN, nên: AM.BN = MN^2 / 4. Mặt khác, theo câu a, ta có góc MON = 90 độ, nên theo tính chất hình chữ nhật, ta có: MN^2 = 4R^2. Suy ra AM.BN = R^2.