giúp tui huhu

Câu 1. Ta có: $y=5+4\sin2x\cos2x$ Áp dụng công thức nhân đôi $\sin2a=2\sin a\cos a$, ta có: $y=5+4\cdot\frac{1}{2}\sin4x=5+2\sin4x$ Vì $-1\leq\sin4x\leq1$, nên $-2\leq2\sin4x\leq2$. Cộng từng vế bất đẳng thức với 5, ta được: $3\leq y\leq7$. Vậy tập giá trị của hàm số $y=5+4\sin2x\cos2x$ là $[3;7]$. Câu 2. Đầu tiên, ta có một đánh giá quen thuộc sau: \[a^2 + b^2 \ge \frac{(a+b)^2}{2}\] Áp dụng vào bài toán này, ta có: \[\sin^2x + \cos^2x = 1\] Suy ra: \[\sin^4x + 2\sin^2x\cos^2x + \cos^4x \ge \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2}\] Hay: \[\sin^4x + \cos^4x \ge \frac{1}{2} - 2\sin^2x\cos^2x\] Lại có: \[\sin^2x + \cos^2x = 1\] Suy ra: \[\sin^2x\cos^2x = \frac{1}{4} - \frac{\sin^4x + \cos^4x}{4}\] Thay vào bất đẳng thức trên, ta được: \[\sin^4x + \cos^4x \ge \frac{1}{2} - 2\left(\frac{1}{4} - \frac{\sin^4x + \cos^4x}{4}\right)\] Hay: \[\sin^4x + \cos^4x \ge \frac{3}{8} + \frac{\sin^4x + \cos^4x}{2}\] Suy ra: \[\sin^4x + \cos^4x \ge \frac{1}{3}\] Tương tự, ta cũng có: \[\sin^6x + \cos^6x \ge \frac{1}{5}\] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\frac{1}{5}$. Để tìm giá trị lớn nhất, ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM: \[(\sin^2x + \cos^2x)^3 = 1^3 = 1 \ge 3\sqrt[3]{\sin^2x\cos^2x}\] Hay: \[\sin^2x\cos^2x \le \frac{1}{3}\] Suy ra: \[\sin^6x + \cos^6x \le 1 - 3\sin^2x\cos^2x \le 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\] Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\frac{2}{3}$. Kết luận, tập giá trị của hàm số $y=\sin^6x+\cos^6x$ là $\left[\frac{1}{5}; \frac{2}{3}\right]$. Câu 3. Đầu tiên, ta có thể biến đổi biểu thức $y=\sin x+\sqrt3\cos x+3$ bằng cách sử dụng công thức lượng giác $\sin(x + \alpha) = \sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha$. Chọn $\alpha$ sao cho $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{1}{2}$ và $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Khi đó, ta có: $y = \sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha + \sqrt{3} \cos x + 3 = \sin(x + \alpha) + \sqrt{3} \cos x + 3.$ Tiếp theo, ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: $(\sin^2 x + \cos^2 x)(1^2 + (\sqrt{3})^2) \geq (\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2.$ Suy ra: $(\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 \leq (1 + 3)(1 + 1) = 8.$ Do đó: $-\sqrt{8} \leq \sin x + \sqrt{3} \cos x \leq \sqrt{8}.$ Hay: $-2\sqrt{2} \leq \sin x + \sqrt{3} \cos x \leq 2\sqrt{2}.$ Cộng thêm 3 vào cả ba bất đẳng thức trên, ta được: $3 - 2\sqrt{2} \leq y \leq 3 + 2\sqrt{2}.$ Vậy tập giá trị của hàm số $y=\sin x+\sqrt3\cos x+3$ là đoạn $[3 - 2\sqrt{2}, 3 + 2\sqrt{2}]$. Câu 4. Đầu tiên, ta có thể biến đổi hàm số $y=\cos^2x+2\sin x+2$ như sau: $y = 1 - \sin^2x + 2\sin x + 2$ $= -(\sin x - 1)^2 + 4$. Vì $\sin x$ luôn nằm trong đoạn $[-1; 1]$, nên $\sin x - 1$ nằm trong đoạn $[-2; 0]$. Do đó, $(\sin x - 1)^2$ nằm trong đoạn $[0; 4]$. Suy ra, $-(\sin x - 1)^2$ nằm trong đoạn $[-4; 0]$. Do đó, $-(\sin x - 1)^2 + 4$ nằm trong đoạn $[0; 4]$. Vậy tập giá trị của hàm số $y=\cos^2x+2\sin x+2$ là $[0; 4]$. Câu 5. Để tìm ngày có số giờ có ánh sáng nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $d(t) = 3\sin\left(\frac{\pi}{182}(t-80)\right) + 12$. Hàm số $\sin x$ đạt giá trị nhỏ nhất là $-1$ khi $x = -\frac{\pi}{2} + k\pi$ với $k$ là số nguyên. Do đó, hàm số $d(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\frac{\pi}{182}(t-80) = -\frac{\pi}{2} + k\pi$. Giải phương trình này, ta được: $\frac{\pi}{182}(t-80) = -\frac{\pi}{2} + k\pi$ $\Rightarrow t - 80 = -91 + 182k$ $\Rightarrow t = -11 + 182k$ Vì $t$ là số nguyên và $0 < t \leq 365$, nên $k$ phải là số nguyên dương sao cho $-11 + 182k > 0$ và $-11 + 182k \leq 365$. Giải các bất phương trình này, ta được: $-11 + 182k > 0 \Rightarrow k > \frac{11}{182} \approx 0.0603$ $-11 + 182k \leq 365 \Rightarrow k \leq \frac{376}{182} \approx 2.0658$ Vì $k$ là số nguyên dương, nên $k = 1$. Thay $k = 1$ vào $t = -11 + 182k$, ta được $t = -11 + 182 = 171$. Vậy, bạn An nên đi vào ngày thứ 171 trong năm để thành phố T có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất. Câu 6. Để xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = \tan x + 2\sin x$, ta cần xét tính chẵn, lẻ của hàm số $f(-x)$ và $f(x)$ với $f(x) = \tan x + 2\sin x$. 1. Xét $f(-x)$: $f(-x) = \tan(-x) + 2\sin(-x) = -\tan x - 2\sin x = -( \tan x + 2\sin x) = -f(x).$ 2. Xét $f(x)$: $f(x) = \tan x + 2\sin x.$ Từ 1 và 2, ta có $f(-x) = -f(x)$, vậy hàm số $y = \tan x + 2\sin x$ là hàm số lẻ. Câu 7. Đầu tiên, hàm số $y=\sqrt{1+\sin x}-3$ xác định khi và chỉ khi $1+\sin x \geq 0$. Điều này luôn đúng với mọi $x$ vì $-1 \leq \sin x \leq 1$. Tiếp theo, ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Giá trị lớn nhất của hàm số xảy ra khi $\sqrt{1+\sin x}$ đạt giá trị lớn nhất. Điều này xảy ra khi $\sin x = 1$, khi đó $\sqrt{1+\sin x} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$. Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt{2} - 3$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số xảy ra khi $\sqrt{1+\sin x}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi $\sin x = -1$, khi đó $\sqrt{1+\sin x} = \sqrt{1-1} = 0$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là $0 - 3 = -3$. Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt{2} - 3$, giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-3$.