tìm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác : y = cosx + sinx + 1

Nguyễn Minh khôi

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác \( y = \cos x + \sin x + 1 \), ta có thể sử dụng các phương pháp đại số và bất đẳng thức. Dưới đây là cách làm chi tiết: ### 1. Biểu diễn hàm số theo dạng khác Ta có hàm số: \[ y = \cos x + \sin x + 1 \] Sử dụng công thức biến đổi tổng: \[ \cos x + \sin x = \sqrt{2} \left( \frac{\cos x}{\sqrt{2}} + \frac{\sin x}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \] Vậy hàm số có thể viết lại thành: \[ y = \sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) + 1 \] ### 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Ta biết rằng: \[ \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \in [-1, 1] \] Do đó: \[ \sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \] Thêm \( 1 \) vào cả hai vế, ta có: \[ y = \sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) + 1 \in [-\sqrt{2} + 1, \sqrt{2} + 1] \] ### 3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất - **Giá trị lớn nhất**: \[ y_{\text{max}} = \sqrt{2} + 1 \] - **Giá trị nhỏ nhất**: \[ y_{\text{min}} = -\sqrt{2} + 1 \] ### 4. Kết luận Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \( y = \cos x + \sin x + 1 \) là: \[ y_{\text{max}} = \sqrt{2} + 1 \approx 2.414 \] \[ y_{\text{min}} = -\sqrt{2} + 1 \approx -0.414 \]