giải giúp em với

Câu 40: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng khẳng định để xem khẳng định nào đúng. Khẳng định A: $\cos2a = \cos^2a - \sin^2a$ Chúng ta biết rằng công thức lượng giác cơ bản cho $\cos2a$ là: \[ \cos2a = \cos^2a - \sin^2a \] Do đó, khẳng định A là đúng. Khẳng định B: $\cos2a = \cos^2a + \sin^2a$ Chúng ta biết rằng $\cos^2a + \sin^2a = 1$, nhưng $\cos2a$ không phải lúc nào cũng bằng 1. Do đó, khẳng định B là sai. Khẳng định C: $\cos2a = 2\cos^2a + 1$ Chúng ta biết rằng $\cos2a$ không thể viết dưới dạng $2\cos^2a + 1$. Do đó, khẳng định C là sai. Khẳng định D: $\cos2a = 2\sin a \cos a$ Chúng ta biết rằng công thức lượng giác cho $\sin2a$ là: \[ \sin2a = 2\sin a \cos a \] Nhưng $\cos2a$ không phải là $2\sin a \cos a$. Do đó, khẳng định D là sai. Vậy khẳng định đúng là: \[ \boxed{A} \] Bài 41: Câu a: \( y = \frac{3\sin3x}{\sqrt{1 - \cos x}} \) Để hàm số xác định, mẫu số phải khác 0 và biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \[ 1 - \cos x > 0 \] \[ \cos x < 1 \] Biểu thức này đúng với mọi \( x \neq 2k\pi \) (với \( k \) là số nguyên). Tuy nhiên, chúng ta cũng cần đảm bảo rằng \( \sin3x \) không làm mẫu số bằng 0: \[ \sin3x \neq 0 \] \[ 3x \neq n\pi \] \[ x \neq \frac{n\pi}{3} \] (với \( n \) là số nguyên). Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{n\pi}{3} \mid n \in \mathbb{Z} \right\} \] Câu b: \( y = \frac{2 + 3\sin2x}{\cos2x - 1} \) Để hàm số xác định, mẫu số phải khác 0: \[ \cos2x - 1 \neq 0 \] \[ \cos2x \neq 1 \] \[ 2x \neq 2k\pi \] \[ x \neq k\pi \] (với \( k \) là số nguyên). Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{ k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \] Câu c: \( y = \tan2x \cot8x \) Để hàm số xác định, cả hai hàm số \( \tan2x \) và \( \cot8x \) phải xác định: \[ \tan2x \text{ xác định khi } 2x \neq \frac{\pi}{2} + m\pi \] \[ x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{m\pi}{2} \] (với \( m \) là số nguyên). \[ \cot8x \text{ xác định khi } 8x \neq n\pi \] \[ x \neq \frac{n\pi}{8} \] (với \( n \) là số nguyên). Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{m\pi}{2}, \frac{n\pi}{8} \mid m, n \in \mathbb{Z} \right\} \] Bài 42: a. Xét hàm số \( y = \sin^2 2x + \cos 3x \). Để xét tính chẵn lẻ của hàm số, ta cần kiểm tra \( f(-x) \) so với \( f(x) \). Ta có: \[ f(-x) = \sin^2(-2x) + \cos(-3x) \] Do tính chất của các hàm lượng giác: \[ \sin(-2x) = -\sin(2x) \] \[ \sin^2(-2x) = (-\sin(2x))^2 = \sin^2(2x) \] \[ \cos(-3x) = \cos(3x) \] Vậy: \[ f(-x) = \sin^2(2x) + \cos(3x) = f(x) \] Hàm số \( y = \sin^2 2x + \cos 3x \) là hàm số chẵn. b. Xét hàm số \( y = \sin^3(3x + 5\pi) + \cot(2x - 7\pi) \). Để xét tính chẵn lẻ của hàm số, ta cần kiểm tra \( f(-x) \) so với \( f(x) \). Ta có: \[ f(-x) = \sin^3(-3x + 5\pi) + \cot(-2x - 7\pi) \] Do tính chất của các hàm lượng giác: \[ \sin(-3x + 5\pi) = -\sin(3x - 5\pi) \] \[ \sin^3(-3x + 5\pi) = (-\sin(3x - 5\pi))^3 = -\sin^3(3x - 5\pi) \] \[ \cot(-2x - 7\pi) = -\cot(2x + 7\pi) \] Vậy: \[ f(-x) = -\sin^3(3x - 5\pi) - \cot(2x + 7\pi) \neq f(x) \] Hàm số \( y = \sin^3(3x + 5\pi) + \cot(2x - 7\pi) \) không phải là hàm số chẵn hoặc lẻ. c. Xét hàm số \( y = f(x) = \sin\left(2x + \frac{9\pi}{2}\right) \). Để xét tính chẵn lẻ của hàm số, ta cần kiểm tra \( f(-x) \) so với \( f(x) \). Ta có: \[ f(-x) = \sin\left(-2x + \frac{9\pi}{2}\right) \] Do tính chất của các hàm lượng giác: \[ \sin\left(-2x + \frac{9\pi}{2}\right) = -\sin\left(2x - \frac{9\pi}{2}\right) \] Vậy: \[ f(-x) = -\sin\left(2x - \frac{9\pi}{2}\right) \neq f(x) \] Hàm số \( y = \sin\left(2x + \frac{9\pi}{2}\right) \) không phải là hàm số chẵn hoặc lẻ. d. Xét hàm số \( y = f(x) = \tan x + \cot x \). Để xét tính chẵn lẻ của hàm số, ta cần kiểm tra \( f(-x) \) so với \( f(x) \). Ta có: \[ f(-x) = \tan(-x) + \cot(-x) \] Do tính chất của các hàm lượng giác: \[ \tan(-x) = -\tan x \] \[ \cot(-x) = -\cot x \] Vậy: \[ f(-x) = -\tan x - \cot x = -(\tan x + \cot x) = -f(x) \] Hàm số \( y = \tan x + \cot x \) là hàm số lẻ. Bài 43: Câu a: Xét hàm số \( y = 3\cos x + 2 \) trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\). Ta có: \[ -1 \leq \cos x \leq 1 \] Nhân cả hai vế với 3: \[ -3 \leq 3\cos x \leq 3 \] Cộng thêm 2 vào cả hai vế: \[ -1 \leq 3\cos x + 2 \leq 5 \] Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi \( \cos x = 1 \) hay \( x = 0 \). Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1, đạt được khi \( \cos x = -1 \) hay \( x = -\frac{\pi}{2} \) hoặc \( x = \frac{\pi}{2} \). Câu b: Xét hàm số \( y = \tan x \) trên đoạn \([- \frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{6}]\). Ta có: \[ -\sqrt{3} \leq \tan x \leq \frac{1}{\sqrt{3}} \] Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số là \( \frac{1}{\sqrt{3}} \), đạt được khi \( x = \frac{\pi}{6} \). Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( -\sqrt{3} \), đạt được khi \( x = -\frac{\pi}{3} \). Câu c: Xét hàm số \( y = 4\cos^2 x + 4\cos x - 1 \). Đặt \( t = \cos x \) với \( -1 \leq t \leq 1 \). Hàm số trở thành: \[ y = 4t^2 + 4t - 1 \] Xét hàm số \( f(t) = 4t^2 + 4t - 1 \) trên đoạn \([-1; 1]\): \[ f'(t) = 8t + 4 \] \[ f'(t) = 0 \implies 8t + 4 = 0 \implies t = -\frac{1}{2} \] Tính giá trị của \( f(t) \) tại các điểm \( t = -1 \), \( t = 1 \), và \( t = -\frac{1}{2} \): \[ f(-1) = 4(-1)^2 + 4(-1) - 1 = 4 - 4 - 1 = -1 \] \[ f(1) = 4(1)^2 + 4(1) - 1 = 4 + 4 - 1 = 7 \] \[ f\left(-\frac{1}{2}\right) = 4\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 4\left(-\frac{1}{2}\right) - 1 = 4\left(\frac{1}{4}\right) - 2 - 1 = 1 - 2 - 1 = -2 \] Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số là 7, đạt được khi \( \cos x = 1 \) hay \( x = 0 \). Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2, đạt được khi \( \cos x = -\frac{1}{2} \) hay \( x = \pm \frac{2\pi}{3} \). Câu 44: Hàm số \( y = \sin \frac{1}{x} + 2x \) bao gồm hai phần: \( \sin \frac{1}{x} \) và \( 2x \). Phần \( 2x \) xác định trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). Phần \( \sin \frac{1}{x} \) xác định khi \( \frac{1}{x} \) xác định, tức là \( x \neq 0 \). Do đó, hàm số \( \sin \frac{1}{x} \) xác định trên tập \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \). Kết hợp cả hai phần, ta thấy rằng hàm số \( y = \sin \frac{1}{x} + 2x \) chỉ xác định khi \( x \neq 0 \). Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{0\}. \] Đáp án đúng là: \[ D.~D = \mathbb{R} \setminus \{0\}. \] Câu 45: Hàm số \( y = 2\cot x + \sin 3x \) bao gồm hai thành phần: \( 2\cot x \) và \( \sin 3x \). - Hàm số \( \sin 3x \) xác định trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). - Hàm số \( \cot x \) xác định khi \( x \neq k\pi \) với \( k \) là số nguyên, vì \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \) và mẫu số \( \sin x \) không thể bằng 0. Do đó, để hàm số \( y = 2\cot x + \sin 3x \) xác định, \( x \) phải thỏa mãn điều kiện \( x \neq k\pi \) với \( k \) là số nguyên. Vậy tập xác định của hàm số \( y = 2\cot x + \sin 3x \) là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi\} \] Đáp án đúng là: \[ B.~D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi\} \] Câu 46: Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \cos \sqrt{x} \), chúng ta cần đảm bảo rằng biểu thức bên trong căn bậc hai (\( \sqrt{x} \)) phải không âm, vì căn bậc hai chỉ xác định khi biểu thức bên trong không âm. 1. Điều kiện để \( \sqrt{x} \) xác định: \[ x \geq 0 \] 2. Hàm số \( \cos t \) xác định với mọi giá trị thực của \( t \). Do đó, \( \cos \sqrt{x} \) sẽ xác định nếu \( \sqrt{x} \) xác định. 3. Kết hợp các điều kiện trên, ta thấy rằng \( x \) phải thỏa mãn điều kiện \( x \geq 0 \). Vậy tập xác định của hàm số \( y = \cos \sqrt{x} \) là: \[ D = [0; +\infty) \] Đáp án đúng là: \[ B.~D=[0;+\infty) \] Câu 47: Để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \( y = 4\sqrt{\sin x + 3} - 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền giá trị của biểu thức bên trong căn bậc hai: \[ \sin x \in [-1, 1] \] Do đó: \[ \sin x + 3 \in [2, 4] \] 2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \( \sqrt{\sin x + 3} \): \[ \sqrt{\sin x + 3} \in [\sqrt{2}, 2] \] 3. Nhân các giá trị này với 4: \[ 4\sqrt{\sin x + 3} \in [4\sqrt{2}, 8] \] 4. Cuối cùng, trừ đi 1 để tìm giá trị của \( y \): \[ y = 4\sqrt{\sin x + 3} - 1 \in [4\sqrt{2} - 1, 7] \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( 4\sqrt{2} - 1 \) và giá trị lớn nhất là 7. Đáp án đúng là: \[ D.~4\sqrt{2} - 1 \text{ và } 7 \] Câu 48: Ta có: \[ y = \sin^2 x - 4 \sin x - 5 \] Đặt \( t = \sin x \). Vì \( \sin x \) nằm trong khoảng từ \(-1\) đến \(1\), nên ta có điều kiện: \[ -1 \leq t \leq 1 \] Biểu thức \( y \) trở thành: \[ y = t^2 - 4t - 5 \] Xét hàm số \( f(t) = t^2 - 4t - 5 \) trên đoạn \([-1, 1]\). Tìm đạo hàm của \( f(t) \): \[ f'(t) = 2t - 4 \] Giải phương trình \( f'(t) = 0 \): \[ 2t - 4 = 0 \] \[ t = 2 \] Nhận thấy rằng \( t = 2 \) không nằm trong đoạn \([-1, 1]\), do đó ta chỉ cần xét giá trị của \( f(t) \) tại các đầu mút của đoạn \([-1, 1]\): - Tại \( t = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) - 5 = 1 + 4 - 5 = 0 \] - Tại \( t = 1 \): \[ f(1) = (1)^2 - 4(1) - 5 = 1 - 4 - 5 = -8 \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y \) là \(-8\), đạt được khi \( t = 1 \) hay \( \sin x = 1 \). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \sin^2 x - 4 \sin x - 5 \) là \(-8\). Đáp án đúng là: B. -8. Câu 49: Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( y = \sqrt{2\sin x + 3} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền giá trị của biểu thức bên trong căn bậc hai: - Biểu thức bên trong căn bậc hai là \( 2\sin x + 3 \). - Vì \( \sin x \) nằm trong khoảng \([-1, 1]\), nên \( 2\sin x \) nằm trong khoảng \([-2, 2]\). - Do đó, \( 2\sin x + 3 \) nằm trong khoảng \([1, 5]\). 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức bên trong căn bậc hai: - Giá trị nhỏ nhất của \( 2\sin x + 3 \) là 1 (khi \( \sin x = -1 \)). - Giá trị lớn nhất của \( 2\sin x + 3 \) là 5 (khi \( \sin x = 1 \)). 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \sqrt{2\sin x + 3} \): - Giá trị nhỏ nhất của \( y \) là \( \sqrt{1} = 1 \) (khi \( \sin x = -1 \)). - Giá trị lớn nhất của \( y \) là \( \sqrt{5} \) (khi \( \sin x = 1 \)). Vậy, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \sqrt{2\sin x + 3} \) là: \[ \max y = \sqrt{5}, \quad \min y = 1 \] Đáp án đúng là: \[ A.~\max y = \sqrt{5}, \min y = 1 \]