Giúp mình với!

Câu 1: Để giải phương trình lượng giác \(\cos(x + 30^\circ) + 1 = 0\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Chuyển vế để đơn giản hóa phương trình. \[ \cos(x + 30^\circ) + 1 = 0 \] \[ \cos(x + 30^\circ) = -1 \] Bước 2: Xác định giá trị của \(x + 30^\circ\) sao cho \(\cos(x + 30^\circ) = -1\). Biết rằng \(\cos \theta = -1\) khi \(\theta = 180^\circ + k \cdot 360^\circ\) với \(k\) là số nguyên. Do đó: \[ x + 30^\circ = 180^\circ + k \cdot 360^\circ \] Bước 3: Giải phương trình trên để tìm \(x\). \[ x + 30^\circ = 180^\circ + k \cdot 360^\circ \] \[ x = 180^\circ - 30^\circ + k \cdot 360^\circ \] \[ x = 150^\circ + k \cdot 360^\circ \] Bước 4: Kết luận nghiệm của phương trình. Vậy nghiệm của phương trình \(\cos(x + 30^\circ) + 1 = 0\) là: \[ x = 150^\circ + k \cdot 360^\circ \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Câu 2: Để giải phương trình lượng giác \(\cos(75^\circ - x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định các góc mà cosin của chúng bằng \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\): \[ \cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Các góc mà cosin của chúng bằng \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) là: \[ \theta = 135^\circ + k \cdot 360^\circ \quad \text{hoặc} \quad \theta = 225^\circ + k \cdot 360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z}) \] 2. Thay \(\theta\) bằng \(75^\circ - x\) trong các phương trình trên: \[ 75^\circ - x = 135^\circ + k \cdot 360^\circ \quad \text{hoặc} \quad 75^\circ - x = 225^\circ + k \cdot 360^\circ \] 3. Giải các phương trình này để tìm \(x\): \[ 75^\circ - x = 135^\circ + k \cdot 360^\circ \] \[ -x = 135^\circ - 75^\circ + k \cdot 360^\circ \] \[ -x = 60^\circ + k \cdot 360^\circ \] \[ x = -60^\circ - k \cdot 360^\circ \] \[ x = 300^\circ + k \cdot 360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z}) \] \[ 75^\circ - x = 225^\circ + k \cdot 360^\circ \] \[ -x = 225^\circ - 75^\circ + k \cdot 360^\circ \] \[ -x = 150^\circ + k \cdot 360^\circ \] \[ x = -150^\circ - k \cdot 360^\circ \] \[ x = 210^\circ + k \cdot 360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z}) \] 4. Kết luận các nghiệm của phương trình: \[ x = 300^\circ + k \cdot 360^\circ \quad \text{hoặc} \quad x = 210^\circ + k \cdot 360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Đáp số: \(x = 300^\circ + k \cdot 360^\circ\) hoặc \(x = 210^\circ + k \cdot 360^\circ\) (\(k \in \mathbb{Z}\)) Câu 3: Để giải phương trình \(\tan(2x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị của \(\tan\) mà chúng ta biết: \[ \tan(2x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \] Ta biết rằng \(\frac{\sqrt{3}}{3} = \tan(\frac{\pi}{6})\). 2. Do đó, phương trình trở thành: \[ \tan(2x - \frac{\pi}{6}) = \tan(\frac{\pi}{6}) \] 3. Phương trình \(\tan(A) = \tan(B)\) có nghiệm tổng quát là: \[ A = B + k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] 4. Áp dụng vào phương trình trên: \[ 2x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + k\pi \] 5. Giải phương trình này để tìm \(x\): \[ 2x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + k\pi \] \[ 2x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + k\pi \] \[ 2x = \frac{2\pi}{6} + k\pi \] \[ 2x = \frac{\pi}{3} + k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} \] 6. Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Đáp số: \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}\). Câu 4: Để giải phương trình \(\tan(3x - 30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định góc cơ bản: Ta biết rằng \(\tan \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Góc cơ bản tương ứng với \(\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\) là \(60^\circ\) (vì \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\)). 2. Tìm các góc trong khoảng từ \(0^\circ\) đến \(360^\circ\): Vì \(\tan \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) nên góc \(\theta\) nằm ở góc phần tư thứ II và thứ IV. - Góc trong phần tư thứ II: \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\) - Góc trong phần tư thứ IV: \(360^\circ - 60^\circ = 300^\circ\) 3. Viết phương trình tổng quát: Do tính tuần hoàn của hàm tang, ta có: \[ 3x - 30^\circ = 120^\circ + k \cdot 180^\circ \quad \text{hoặc} \quad 3x - 30^\circ = 300^\circ + k \cdot 180^\circ \] với \(k\) là số nguyên. 4. Giải các phương trình trên: - Từ \(3x - 30^\circ = 120^\circ + k \cdot 180^\circ\): \[ 3x = 150^\circ + k \cdot 180^\circ \] \[ x = 50^\circ + k \cdot 60^\circ \] - Từ \(3x - 30^\circ = 300^\circ + k \cdot 180^\circ\): \[ 3x = 330^\circ + k \cdot 180^\circ \] \[ x = 110^\circ + k \cdot 60^\circ \] 5. Kết luận: Các nghiệm của phương trình \(\tan(3x - 30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) là: \[ x = 50^\circ + k \cdot 60^\circ \quad \text{hoặc} \quad x = 110^\circ + k \cdot 60^\circ \] với \(k\) là số nguyên. Câu 5: Để giải phương trình lượng giác \(\sqrt{3}\tan\left(\frac{\pi x}{2}\right) = 3\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Hàm số \(\tan\left(\frac{\pi x}{2}\right)\) không xác định khi \(\frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi\) với \(k\) là số nguyên. - Điều này tương đương với \(x = 1 + 2k\). Do đó, \(x\) không thể là các giá trị lẻ. 2. Giải phương trình: - Chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt{3}\): \[ \tan\left(\frac{\pi x}{2}\right) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \] - Ta biết rằng \(\tan\theta = \sqrt{3}\) khi \(\theta = \frac{\pi}{3} + n\pi\) với \(n\) là số nguyên. - Do đó: \[ \frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{3} + n\pi \] 3. Giải phương trình để tìm \(x\): - Nhân cả hai vế với \(\frac{2}{\pi}\): \[ x = \frac{2}{\pi} \left( \frac{\pi}{3} + n\pi \right) \] - Đơn giản hóa: \[ x = \frac{2}{3} + 2n \] 4. Kiểm tra điều kiện xác định: - \(x = \frac{2}{3} + 2n\) không phải là các giá trị lẻ, do đó thỏa mãn ĐKXĐ. 5. Kết luận: - Nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{2}{3} + 2n \quad \text{với} \quad n \in \mathbb{Z} \] Do đó, nghiệm của phương trình \(\sqrt{3}\tan\left(\frac{\pi x}{2}\right) = 3\) là: \[ \boxed{x = \frac{2}{3} + 2n \quad \text{với} \quad n \in \mathbb{Z}} \] Câu 6: Để giải phương trình lượng giác \( \cot 3x = \cot (\pi - x) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Nhắc lại tính chất của cotangent: Hàm cotangent có tính chất tuần hoàn với chu kỳ \(\pi\). Do đó, nếu \(\cot A = \cot B\), thì \(A = B + k\pi\) với \(k\) là số nguyên. 2. Áp dụng tính chất này vào phương trình: Ta có: \[ \cot 3x = \cot (\pi - x) \] Theo tính chất của cotangent, suy ra: \[ 3x = \pi - x + k\pi \] với \(k\) là số nguyên. 3. Giải phương trình: Chuyển \(x\) sang một vế và \(k\pi\) sang vế kia: \[ 3x + x = \pi + k\pi \] \[ 4x = \pi + k\pi \] Chia cả hai vế cho 4: \[ x = \frac{\pi + k\pi}{4} \] \[ x = \frac{(1 + k)\pi}{4} \] 4. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Cotangent không xác định khi góc là bội số lẻ của \(\frac{\pi}{2}\). Do đó, \(3x\) và \(\pi - x\) không được bằng bội số lẻ của \(\frac{\pi}{2}\). Điều này có nghĩa là: \[ 3x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi \quad \text{và} \quad \pi - x \neq \frac{\pi}{2} + m\pi \] với \(n\) và \(m\) là các số nguyên. Giải các bất phương trình trên: \[ 3x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{n\pi}{3} \] \[ \pi - x \neq \frac{\pi}{2} + m\pi \implies x \neq \frac{\pi}{2} - m\pi \] 5. Kết luận: Nghiệm của phương trình \( \cot 3x = \cot (\pi - x) \) là: \[ x = \frac{(1 + k)\pi}{4}, \quad k \in \mathbb{Z} \] với điều kiện: \[ x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{n\pi}{3} \quad \text{và} \quad x \neq \frac{\pi}{2} - m\pi \] với \(n\) và \(m\) là các số nguyên. Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{(1 + k)\pi}{4}, \quad k \in \mathbb{Z} \] Câu 7: Để giải phương trình lượng giác \(\cot(x - \frac{\pi}{5}) = -\sqrt{3}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Nhắc lại công thức cotangent: \[ \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} \] Do đó, phương trình \(\cot(x - \frac{\pi}{5}) = -\sqrt{3}\) tương đương với: \[ \tan(x - \frac{\pi}{5}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \] 2. Xác định góc cơ bản: Ta biết rằng: \[ \tan \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \] Vì vậy, ta có: \[ x - \frac{\pi}{5} = -\frac{\pi}{6} + k\pi \quad \text{(với \(k\) là số nguyên)} \] 3. Giải phương trình: \[ x - \frac{\pi}{5} = -\frac{\pi}{6} + k\pi \] Chuyển \(\frac{\pi}{5}\) sang vế phải: \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{5} + k\pi \] Đưa về cùng mẫu số: \[ x = -\frac{5\pi}{30} + \frac{6\pi}{30} + k\pi = \frac{\pi}{30} + k\pi \] 4. Kết luận: Nghiệm của phương trình \(\cot(x - \frac{\pi}{5}) = -\sqrt{3}\) là: \[ x = \frac{\pi}{30} + k\pi \quad \text{(với \(k\) là số nguyên)} \] Do đó, nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{\pi}{30} + k\pi \quad \text{(với \(k\) là số nguyên)} \] Câu 8: Để giải phương trình lượng giác \(\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \sin(x + \frac{3\pi}{4})\), chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hàm số sin, cụ thể là nếu \(\sin A = \sin B\) thì \(A = B + k2\pi\) hoặc \(A = \pi - B + k2\pi\) với \(k\) là số nguyên. Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng: \[ \sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \sin(x + \frac{3\pi}{4}) \] Bước 2: Áp dụng tính chất của hàm số sin: \[ 2x - \frac{\pi}{4} = x + \frac{3\pi}{4} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x - \frac{\pi}{4} = \pi - (x + \frac{3\pi}{4}) + k2\pi \] Bước 3: Giải từng trường hợp: Trường hợp 1: \[ 2x - \frac{\pi}{4} = x + \frac{3\pi}{4} + k2\pi \] \[ 2x - x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + k2\pi \] \[ x = \pi + k2\pi \] Trường hợp 2: \[ 2x - \frac{\pi}{4} = \pi - x - \frac{3\pi}{4} + k2\pi \] \[ 2x + x = \pi - \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + k2\pi \] \[ 3x = \pi + k2\pi \] \[ x = \frac{\pi}{3} + \frac{k2\pi}{3} \] Bước 4: Kết luận các nghiệm của phương trình: \[ x = \pi + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{3} + \frac{k2\pi}{3} \] với \(k\) là số nguyên. Đáp số: \(x = \pi + k2\pi\) hoặc \(x = \frac{\pi}{3} + \frac{k2\pi}{3}\) với \(k\) là số nguyên.