giải giúp em với

Câu 32: Để tính giá trị của biểu thức \( A = \frac{\sin^2 x - 2 \sin x \cos x}{\cos^2 x + 3 \sin^2 x} \) khi biết \( \tan x = 2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Biểu diễn \(\sin x\) và \(\cos x\) theo \(\tan x\): Ta có \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \). Do đó, \( \sin x = 2 \cos x \). 2. Thay \(\sin x = 2 \cos x\) vào biểu thức \(A\): \[ A = \frac{(2 \cos x)^2 - 2 (2 \cos x) \cos x}{\cos^2 x + 3 (2 \cos x)^2} \] 3. Rút gọn tử số và mẫu số: Tử số: \[ (2 \cos x)^2 - 2 (2 \cos x) \cos x = 4 \cos^2 x - 4 \cos^2 x = 0 \] Mẫu số: \[ \cos^2 x + 3 (2 \cos x)^2 = \cos^2 x + 3 \cdot 4 \cos^2 x = \cos^2 x + 12 \cos^2 x = 13 \cos^2 x \] 4. Tính giá trị của \(A\): \[ A = \frac{0}{13 \cos^2 x} = 0 \] Vậy giá trị của \( A \) là \( 0 \). Đáp án đúng là: \( B.~A=0 \). Câu 33: Ta có: \[ A = \frac{2\sin^2 x - 5\sin x \cos x + \cos^2 x}{2\sin^2 x + \sin x \cos x + \cos^2 x}. \] Chia cả tử số và mẫu số cho \(\cos^2 x\): \[ A = \frac{2\tan^2 x - 5\tan x + 1}{2\tan^2 x + \tan x + 1}. \] Thay \(\tan x = 3\) vào biểu thức trên: \[ A = \frac{2(3)^2 - 5(3) + 1}{2(3)^2 + 3 + 1} = \frac{2 \cdot 9 - 15 + 1}{2 \cdot 9 + 3 + 1} = \frac{18 - 15 + 1}{18 + 3 + 1} = \frac{4}{22} = \frac{2}{11}. \] Tuy nhiên, ta thấy rằng đáp án không nằm trong các lựa chọn đã cho. Do đó, ta kiểm tra lại các bước tính toán. Chúng ta sẽ thử lại: \[ A = \frac{2(3)^2 - 5(3) + 1}{2(3)^2 + 3 + 1} = \frac{2 \cdot 9 - 15 + 1}{2 \cdot 9 + 3 + 1} = \frac{18 - 15 + 1}{18 + 3 + 1} = \frac{4}{22} = \frac{2}{11}. \] Như vậy, ta thấy rằng đáp án đúng là: \[ A = \frac{4}{22} = \frac{2}{11}. \] Do đó, đáp án chính xác là: \[ \boxed{\frac{4}{22}}. \] Câu 34: Để rút gọn biểu thức \(\left(\frac{\sin\alpha + \tan\alpha}{\cos\alpha + 1}\right)^2 + 1\), ta thực hiện các bước sau: 1. Biến đổi tử số của phân thức: \[ \sin\alpha + \tan\alpha = \sin\alpha + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sin\alpha \left(1 + \frac{1}{\cos\alpha}\right) = \sin\alpha \left(\frac{\cos\alpha + 1}{\cos\alpha}\right) \] 2. Thay vào phân thức ban đầu: \[ \frac{\sin\alpha + \tan\alpha}{\cos\alpha + 1} = \frac{\sin\alpha \left(\frac{\cos\alpha + 1}{\cos\alpha}\right)}{\cos\alpha + 1} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha \] 3. Bình phương kết quả vừa tìm được: \[ \left(\frac{\sin\alpha + \tan\alpha}{\cos\alpha + 1}\right)^2 = (\tan\alpha)^2 = \tan^2\alpha \] 4. Thêm 1 vào kết quả trên: \[ \left(\frac{\sin\alpha + \tan\alpha}{\cos\alpha + 1}\right)^2 + 1 = \tan^2\alpha + 1 \] 5. Sử dụng công thức lượng giác cơ bản \(\tan^2\alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha}\): \[ \tan^2\alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha} \] Vậy kết quả rút gọn của biểu thức \(\left(\frac{\sin\alpha + \tan\alpha}{\cos\alpha + 1}\right)^2 + 1\) là: \[ \boxed{\frac{1}{\cos^2\alpha}} \] Đáp án đúng là: \(C.~\frac{1}{\cos^2\alpha}\). Câu 35: Để giải quyết bài toán này, ta cần sử dụng công thức lượng giác cho hiệu của hai góc. Cụ thể, ta có công thức: \[ \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \] Áp dụng công thức này cho \(x = \frac{\pi}{6}\) và \(y = a\), ta có: \[ \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = \sin\frac{\pi}{6} \cos a - \cos\frac{\pi}{6} \sin a \] Biết rằng: \[ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \quad \text{và} \quad \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Thay các giá trị này vào công thức, ta được: \[ \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = \frac{1}{2} \cos a - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \] Do đó, khẳng định đúng là: \[ P = \frac{1}{2} \cos a - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \] Vậy đáp án đúng là A. Câu 36: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng công thức cộng góc cho hàm số cosin. Công thức cộng góc cho cosin là: \[ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \] Áp dụng công thức này cho \(x = \frac{\pi}{3}\) và \(y = a\), ta có: \[ \cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right) = \cos\frac{\pi}{3} \cos a - \sin\frac{\pi}{3} \sin a \] Biết rằng: \[ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \quad \text{và} \quad \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Thay các giá trị này vào công thức, ta được: \[ \cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right) = \frac{1}{2} \cos a - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \] Do đó, khẳng định đúng là: \[ A.~P = \frac{1}{2} \cos a - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \] Vậy đáp án đúng là A. Câu 37: Ta có công thức biến đổi tích thành tổng: \[ \sin a \cos a = \frac{1}{2} (\sin(a + a) + \sin(a - a)) = \frac{1}{2} (\sin 2a + \sin 0) = \frac{1}{2} \sin 2a. \] Do đó, khẳng định đúng là: \[ A.~\sin a\cos a=\frac12\sin2a. \] Câu 38: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng công thức nhân đôi của hàm số lượng giác. Cụ thể, công thức nhân đôi cho hàm sin là: \[ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \] Với bài toán này, ta có \(\alpha = 12^\circ\), do đó: \[ \sin(24^\circ) = \sin(2 \times 12^\circ) = 2\sin(12^\circ)\cos(12^\circ) \] Như vậy, khẳng định đúng là: \[ A.~\sin(24^\circ) = 2\sin(12^\circ)\cos(12^\circ) \] Các khẳng định khác không đúng vì: - \(B.~\sin(24^\circ) = \sin(12^\circ)\cos(12^\circ)\) không đúng vì thiếu hệ số 2. - \(C.~\sin(24^\circ) = \frac{1}{2}\sin(12^\circ)\cos(12^\circ)\) không đúng vì hệ số là 2, không phải \(\frac{1}{2}\). - \(D.~\sin(24^\circ) = \cos^2(12^\circ) - \sin^2(12^\circ)\) không đúng vì đây là công thức cho \(\cos(2\alpha)\), không phải \(\sin(2\alpha)\). Vậy, khẳng định đúng là \(A\). Câu 39: A. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến d cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó. B. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d và cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến d cũng song song với mặt phẳng thứ ba đó. C. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d và cùng chéo với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến d cũng chéo với mặt phẳng thứ ba đó. D. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d và cùng trùng với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến d cũng trùng với mặt phẳng thứ ba đó. Để kiểm tra khẳng định nào đúng, chúng ta sẽ xem xét từng trường hợp: A. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến d cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó. - Giả sử hai mặt phẳng P và Q cắt nhau theo giao tuyến d và cả hai đều vuông góc với mặt phẳng R. Điều này có nghĩa là mọi đường thẳng trong P và Q đều vuông góc với R. Do đó, giao tuyến d cũng phải vuông góc với R. Vậy khẳng định A là đúng. B. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d và cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến d cũng song song với mặt phẳng thứ ba đó. - Giả sử hai mặt phẳng P và Q cắt nhau theo giao tuyến d và cả hai đều song song với mặt phẳng R. Điều này có nghĩa là mọi đường thẳng trong P và Q đều song song với R. Do đó, giao tuyến d cũng phải song song với R. Vậy khẳng định B là đúng. C. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d và cùng chéo với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến d cũng chéo với mặt phẳng thứ ba đó. - Giả sử hai mặt phẳng P và Q cắt nhau theo giao tuyến d và cả hai đều chéo với mặt phẳng R. Điều này có nghĩa là mọi đường thẳng trong P và Q đều chéo với R. Do đó, giao tuyến d cũng phải chéo với R. Vậy khẳng định C là đúng. D. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d và cùng trùng với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến d cũng trùng với mặt phẳng thứ ba đó. - Giả sử hai mặt phẳng P và Q cắt nhau theo giao tuyến d và cả hai đều trùng với mặt phẳng R. Điều này có nghĩa là mọi đường thẳng trong P và Q đều trùng với R. Do đó, giao tuyến d cũng phải trùng với R. Vậy khẳng định D là đúng. Tuy nhiên, trong các khẳng định trên, chỉ có khẳng định A là đúng vì nó mô tả đúng tính chất của các mặt phẳng và giao tuyến của chúng. Đáp án: A. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến d cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.