cho a,b,c là các số nguyên dương; ab+1,ac+1,bc+1 chia hết cho p, p là số nguyên tố lẻ. CMR: p+2<=(a+b+c)/3

Đây là một bài toán khó với học sinh lớp 9, nhưng nếu sử dụng các kiến thức nâng cao về số học, chúng ta có thể giải nó. Đầu tiên, chúng ta sử dụng định lý Euler về số học: Nếu p là số nguyên tố lẻ, thì tồn tại các số nguyên a, b, c sao cho ab + 1, ac + 1, bc + 1 đều chia hết cho p. Theo định lý Euler, ta có: (ab + 1)(ac + 1)(bc + 1) ≡ 0 (mod p) Từ đó suy ra: (abc + ab + ac + bc + 1) ≡ 0 (mod p) Hay: abc + (ab + ac + bc) + 1 ≡ 0 (mod p) Vì ab + 1, ac + 1, bc + 1 đều chia hết cho p, nên (ab + ac + bc) cũng chia hết cho p. Do đó, abc ≡ -1 (mod p) Hay abc + 1 ≡ 0 (mod p) abc + 1 = kp, với k là số nguyên dương. Ta có: abc + 1 = kp abc = kp - 1 abc < kp (vì abc + 1 < kp) abc < kp abc/p < k Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.