Ông Nam cần xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy để phục vụ cho việc tưới cây trong vườn. Do đó điều kiện về diện tích vườn, ông Nam cần bể có thể tích là 36m³, đáy bể c...

Đặt chiều rộng của bể là $x$ (m), chiều dài là $2x$ (m), chiều cao là $h$ (m). Theo đề bài, thể tích của bể là $36m^3$, nên ta có phương trình: $x \cdot 2x \cdot h = 36 \Rightarrow 2x^2h = 36 \Rightarrow h = \frac{36}{2x^2} = \frac{18}{x^2}$. Diện tích bề mặt của bể là: $S = x \cdot 2x + 2x \cdot h + x \cdot h = 2x^2 + 2x \cdot \frac{18}{x^2} + x \cdot \frac{18}{x^2} = 2x^2 + \frac{36}{x} + \frac{18}{x} = 2x^2 + \frac{54}{x}$. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $S$. Để làm điều này, ta có thể sử dụng phương pháp khảo sát hàm số. Tuy nhiên, ở đây ta sẽ sử dụng phương pháp sử dụng BĐT Cauchy. Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương $2x^2$, $\frac{54}{x}$, $\frac{54}{x}$, ta có: \[2x^2 + \frac{54}{x} + \frac{54}{x} \geq 3\sqrt[3]{2x^2 \cdot \frac{54}{x} \cdot \frac{54}{x}} = 3\sqrt[3]{54^2} = 54.\] Dấu "=" xảy ra khi $2x^2 = \frac{54}{x}$, tức là $2x^3 = 54 \Rightarrow x^3 = 27 \Rightarrow x = 3$. Thay $x = 3$ vào công thức tính $h$, ta được: $h = \frac{18}{3^2} = \frac{18}{9} = 2$. Vậy để tổng chi phí vật liệu là nhỏ nhất, chiều cao bể nước bằng $2$ mét.