Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc (O) và (O') lần lượt ở B và C. Tiếp tuyến chung trong cắt BC ở I. Gọi E, F thứ tự là giao điểm của IO với...

a, 
Xét đường tròn (O) có tiếp tuyến IB và IA cắt nhau tại I nên IB = IA nên I nằm trên đường trung trực của AB và IO là phân giác của $$
Ta có OA = OB = R nên O nằm trên đường trung trực của AB
Vậy IO là trung trực của đoạn AB nên $$
Tương tự ta có IO' là trung trực của đoạn AC nên $$ và IO' là phân giác của $$
$$ nên $$ vuông tại $$.Suy ra $$ nội tiếp đường tròn đường kính AI
$$ nên $$ vuông tại $$.Suy ra $$ nội tiếp đường tròn đường kính AI
Vậy $$ nội tiếp đường tròn đường kính $$
Vậy $$ là trung điểm $$
b, 
BI là tiếp tuyến của (O) nên $$ vuông tại O
$$ vuông tại O có $$ nên $$
CI là tiếp tuyến của (O') nên $$ vuông tại O'
$$ vuông tại O có $$ nên $$
Ta có $$ và $$ nên $$
Vậy $$ (1)
$$ có $$ nên $$ vuông tại $$ nên $$ (2)
Từ (1) và (2), ta có $$