Giúp mình vs ạ

Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. a) Với \( m = -1 \), ta thay vào hàm số: \[ y = \frac{(-1 + 1)x^2 - 2(-1)x + 6(-1)}{x - 1} = \frac{2x - 6}{x - 1} \] Ta tính đạo hàm của hàm số này: \[ y' = \left( \frac{2x - 6}{x - 1} \right)' = \frac{(2)(x - 1) - (2x - 6)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x + 6}{(x - 1)^2} = \frac{4}{(x - 1)^2} \] Vì \(\frac{4}{(x - 1)^2}\) luôn dương trên khoảng \((2; +\infty)\), nên hàm số đồng biến trên khoảng này. Mệnh đề a) đúng. b) Với \( m = 0 \), ta thay vào hàm số: \[ y = \frac{(0 + 1)x^2 - 2(0)x + 6(0)}{x - 1} = \frac{x^2}{x - 1} \] Ta tính đạo hàm của hàm số này: \[ y' = \left( \frac{x^2}{x - 1} \right)' = \frac{(2x)(x - 1) - x^2(1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} \] Trên khoảng \((1; +\infty)\), ta thấy rằng \(x > 1\) và \(x - 2\) có thể dương hoặc âm tùy thuộc vào giá trị của \(x\). Do đó, đạo hàm \(y'\) có thể dương hoặc âm, hàm số không phải lúc nào cũng nghịch biến trên khoảng này. Mệnh đề b) sai. c) Để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định, đạo hàm của hàm số phải luôn dương trên mỗi khoảng xác định. Ta tính đạo hàm của hàm số ban đầu: \[ y = \frac{(m + 1)x^2 - 2mx + 6m}{x - 1} \] \[ y' = \left( \frac{(m + 1)x^2 - 2mx + 6m}{x - 1} \right)' = \frac{[(m + 1)2x - 2m](x - 1) - [(m + 1)x^2 - 2mx + 6m]}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2(m + 1)x^2 - 2(m + 1)x - 2mx + 2m - (m + 1)x^2 + 2mx - 6m}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{(m + 1)x^2 - 2(m + 1)x - 4m}{(x - 1)^2} \] Để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định, ta cần: \[ (m + 1)x^2 - 2(m + 1)x - 4m > 0 \] Phân tích biểu thức này, ta thấy rằng nó phụ thuộc vào giá trị của \(m\). Ta cần tìm \(m\) sao cho biểu thức này luôn dương trên mỗi khoảng xác định. Điều này đòi hỏi \(m + 1 > 0\) và \(-4m > 0\), dẫn đến \(m > -1\) và \(m < 0\). Kết hợp hai điều kiện này, ta có \(m \in (-1; 0)\). Do đó, \(a = -1\) và \(b = 0\), suy ra \(a + 5b = -1 + 5(0) = -1\). Mệnh đề c) sai. d) Để hàm số đồng biến trên khoảng \((4; +\infty)\), đạo hàm của hàm số phải luôn dương trên khoảng này. Ta đã tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{(m + 1)x^2 - 2(m + 1)x - 4m}{(x - 1)^2} \] Trên khoảng \((4; +\infty)\), ta cần: \[ (m + 1)x^2 - 2(m + 1)x - 4m > 0 \] Điều này đòi hỏi \(m + 1 > 0\) và \(-4m > 0\), dẫn đến \(m > -1\) và \(m < 0\). Kết hợp hai điều kiện này, ta có \(m \in (-1; 0)\). Do đó, điều kiện cần và đủ để hàm số đồng biến trên \((4; +\infty)\) là \(m \in [-1; 0)\). Mệnh đề d) sai. Kết luận: - Mệnh đề a) đúng. - Mệnh đề b) sai. - Mệnh đề c) sai. - Mệnh đề d) sai.