làm bài 4.12 SGK toán 9 kntt trang 78 tập 1

a) Ta có ˆADC+ˆDCE=90°$\widehat{ADC}+\widehat{DCE}=90°$ (hai góc nhọn trong ∆CDE vuông tại E) và ˆACE+ˆDCE=ˆACD=90°$\widehat{ACE}+\widehat{DCE}=\widehat{ACD}=90°$ nên ˆADC=ˆACE$\widehat{ADC}=\widehat{ACE}$ (cùng phụ góc ˆDCE).$\widehat{DCE}).$(1)

Xét ∆ACD vuông tại C, ta có sinˆADC=ACAD.$\sin \widehat{ADC}=\frac{AC}{AD}.$(2)

Xét ∆ACE vuông tại E, ta có sinˆACE=AEAC.$\sin \widehat{ACE}=\frac{AE}{AC}.$(3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra ACAD=AEAC,$\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AC},$ do đó AC² = AE.AD.

Hình thang ABCD có AD // BC và AB ⊥ BC (do ˆB=90°)$\widehat{B}=90°)$ nên AB ⊥ AD.

Tứ giác ABCE có ˆA=ˆB=ˆE=90°$\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{E}=90°$ nên ABCE là hình chữ nhật.

Suy ra AE = BC = 4 cm (tính chất hình chữ nhật).

Khi đó, AC² = 4.16 = 64 nên AC = 8 (cm) (do AC > 0).

b) Theo câu a, ta có sinˆADC=ACAD=816=12,$\sin \widehat{ADC}=\frac{AC}{AD}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2},$ suy ra ˆD=30°.