giá trị nhỏ nhất của hàm số x mũ 3 nhân e mũ x

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 e^x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (x^3 e^x) \] Sử dụng quy tắc tích: \[ f'(x) = x^3 \cdot \frac{d}{dx}(e^x) + e^x \cdot \frac{d}{dx}(x^3) \] \[ f'(x) = x^3 e^x + 3x^2 e^x \] \[ f'(x) = e^x (x^3 + 3x^2) \] 2. Tìm điểm cực trị: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ f'(x) = e^x (x^3 + 3x^2) = 0 \] Vì \( e^x \neq 0 \) với mọi \( x \), ta chỉ cần giải phương trình: \[ x^3 + 3x^2 = 0 \] \[ x^2 (x + 3) = 0 \] Từ đây, ta có hai nghiệm: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -3 \] 3. Xác định tính chất của các điểm cực trị: Để xác định tính chất của các điểm cực trị, ta xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \): - Khi \( x < -3 \): \( x^2 > 0 \) và \( x + 3 < 0 \), do đó \( f'(x) < 0 \). - Khi \( -3 < x < 0 \): \( x^2 > 0 \) và \( x + 3 > 0 \), do đó \( f'(x) > 0 \). - Khi \( x > 0 \): \( x^2 > 0 \) và \( x + 3 > 0 \), do đó \( f'(x) > 0 \). Từ đây, ta thấy: - \( x = -3 \) là điểm cực tiểu vì \( f'(x) \) thay đổi từ âm sang dương. - \( x = 0 \) là điểm cực đại vì \( f'(x) \) thay đổi từ dương sang dương. 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Tại \( x = -3 \): \[ f(-3) = (-3)^3 e^{-3} = -27 e^{-3} \] - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^3 e^0 = 0 \] 5. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: Ta có: \[ f(-3) = -27 e^{-3} \quad \text{và} \quad f(0) = 0 \] Vì \( e^{-3} \) là một số dương nhỏ hơn 1, nên \( -27 e^{-3} \) là một số âm nhỏ hơn 0. Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 e^x \) là: \[ f(-3) = -27 e^{-3} \] Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( -27 e^{-3} \).