Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= x^2 +2y^2 -2xy +2x - 6y +2028

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = x^2 + 2y^2 - 2xy + 2x - 6y + 2028\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhóm các hạng tử để tạo thành các bình phương hoàn chỉnh. \[A = x^2 + 2y^2 - 2xy + 2x - 6y + 2028\] Bước 2: Nhóm lại theo cách thuận tiện để tạo thành các bình phương hoàn chỉnh. \[A = (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 6y + 9) + (2x + 1) + 2019\] Bước 3: Nhận thấy rằng: \[x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2\] \[y^2 - 6y + 9 = (y - 3)^2\] \[2x + 1 = 2(x + \frac{1}{2})\] Do đó, ta có: \[A = (x - y)^2 + (y - 3)^2 + 2(x + \frac{1}{2}) + 2019\] Bước 4: Để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất, các bình phương phải bằng 0: \[(x - y)^2 = 0 \Rightarrow x = y\] \[(y - 3)^2 = 0 \Rightarrow y = 3\] \[2(x + \frac{1}{2}) = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\] Nhưng do \(x = y\) và \(y = 3\), nên \(x = 3\). Bước 5: Thay \(x = 3\) và \(y = 3\) vào biểu thức ban đầu: \[A = 3^2 + 2(3^2) - 2(3)(3) + 2(3) - 6(3) + 2028\] \[A = 9 + 18 - 18 + 6 - 18 + 2028\] \[A = 2027\] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) là 2027.