Xác định miền nghiệm bất phương trình bậc nhất 2 ẩn:(x-y)(x^3+y^3)>0

Để giải bất phương trình \((x - y)(x^3 + y^3) > 0\), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Bất phương trình này không có điều kiện hạn chế đặc biệt nào khác ngoài việc \(x\) và \(y\) phải là số thực. 2. Phân tích biểu thức: Ta có: \[ (x - y)(x^3 + y^3) > 0 \] Biểu thức \(x^3 + y^3\) có thể được phân tích thành: \[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \] 3. Xét dấu của các nhân tử: Để bất phương trình \((x - y)(x^3 + y^3) > 0\) đúng, ta cần xét các trường hợp sau: - Trường hợp 1: \(x - y > 0\) và \(x^3 + y^3 > 0\) - Điều kiện \(x - y > 0\) suy ra \(x > y\). - Điều kiện \(x^3 + y^3 > 0\) suy ra \((x + y)(x^2 - xy + y^2) > 0\). Ta xét tiếp: Nếu \(x + y > 0\), ta cần \(x^2 - xy + y^2 > 0\). Biểu thức \(x^2 - xy + y^2\) luôn dương vì nó là tổng của các bình phương và một tích chia đôi (luôn lớn hơn hoặc bằng 0). Nếu \(x + y < 0\), ta cần \(x^2 - xy + y^2 < 0\). Điều này không thể xảy ra vì \(x^2 - xy + y^2\) luôn dương. - Trường hợp 2: \(x - y < 0\) và \(x^3 + y^3 < 0\) - Điều kiện \(x - y < 0\) suy ra \(x < y\). - Điều kiện \(x^3 + y^3 < 0\) suy ra \((x + y)(x^2 - xy + y^2) < 0\). Ta xét tiếp: Nếu \(x + y > 0\), ta cần \(x^2 - xy + y^2 < 0\). Điều này không thể xảy ra vì \(x^2 - xy + y^2\) luôn dương. Nếu \(x + y < 0\), ta cần \(x^2 - xy + y^2 > 0\). Điều này luôn đúng vì \(x^2 - xy + y^2\) luôn dương. 4. Tóm tắt kết quả: - Trường hợp 1: \(x > y\) và \(x + y > 0\) - Trường hợp 2: \(x < y\) và \(x + y < 0\) Vậy miền nghiệm của bất phương trình \((x - y)(x^3 + y^3) > 0\) là: \[ (x > y \text{ và } x + y > 0) \text{ hoặc } (x < y \text{ và } x + y < 0) \]