Câu 2:
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết.
a)
Đầu tiên, chúng ta tính đạo hàm của hàm số :
Như vậy, phần a đúng.
b) có nghiệm
Chúng ta cần giải phương trình :
Để tìm nghiệm của phương trình này, chúng ta có thể thử nghiệm các giá trị và :
- Thay :
- Thay :
Như vậy, phần b sai.
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng là 2
Chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng . Đầu tiên, chúng ta tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0:
Phương trình này có nghiệm:
Do đó, các nghiệm là:
Trong khoảng , chỉ có nằm trong khoảng này. Chúng ta kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị:
-
-
-
Như vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng là , không phải là 2. Phần c sai.
d) Điểm cực đại của hàm số là
Chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số :
Để tìm điểm cực đại, chúng ta cần giải phương trình :
Do đó:
Chúng ta đã biết rằng , do đó:
Gọi , ta có:
Phương trình này có nghiệm:
Do đó:
Chúng ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm để xác định điểm cực đại. Ta thấy rằng là điểm cực đại. Phần d đúng.
Kết luận:
- a) Đúng
- b) Sai
- c) Sai
- d) Đúng
Câu 3:
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự.
a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
Hàm số có tiệm cận đứng khi mẫu số bằng 0, tức là . Do đó, tiệm cận đứng là , không phải . Vậy phần này sai.
b) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
Để tìm tiệm cận đứng của hàm số , ta cần tìm giá trị của sao cho :
Vậy tiệm cận đứng của hàm số là , không phải . Vậy phần này sai.
c) Hàm số luôn giảm trên và
Để kiểm tra tính chất tăng/giảm của hàm số , ta tính đạo hàm của hàm số:
Ta thấy rằng cho mọi . Do đó, hàm số luôn giảm trên cả hai khoảng và . Vậy phần này đúng.
d) Hàm số luôn tăng trên
Để kiểm tra tính chất tăng/giảm của hàm số , ta tính đạo hàm của hàm số này:
Ta thấy rằng cho mọi . Do đó, hàm số luôn tăng trên khoảng và . Vì vậy, phần này sai.
Kết luận
Từ các phân tích trên, chỉ có phần c) là đúng. Vậy đáp án là:
c) Hàm số luôn giảm trên và .
Câu 4:
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự.
a) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là
Để tìm tiệm cận xiên của hàm số , ta thực hiện phép chia đa thức:
Khi tiến đến vô cùng (), phần sẽ tiến đến 0. Do đó, tiệm cận xiên của hàm số là . Vậy phần a đúng.
b) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ âm
Đồ thị cắt trục hoành khi , tức là:
Điều này xảy ra khi tử số bằng 0:
Giải phương trình bậc hai này:
Ta có hai nghiệm:
Cả hai nghiệm đều là số dương, do đó đồ thị không cắt trục hoành tại điểm có hoành độ âm. Vậy phần b sai.
c) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là
Tiệm cận xiên của hàm số là . Khi thay bằng , ta có:
Phép chia này sẽ cho ta:
Khi , phần tiến đến 0. Do đó, tiệm cận xiên của hàm số là . Vậy phần c sai.
d) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ âm
Đồ thị cắt trục hoành khi , tức là:
Điều này xảy ra khi:
Gọi , ta có:
Giải phương trình bậc hai này:
Ta có hai nghiệm:
Do đó:
Cả hai nghiệm đều là số âm, do đó đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ âm. Vậy phần d đúng.
Kết luận:
a) Đúng
b) Sai
c) Sai
d) Đúng
Câu 1:
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn , ta cần xem xét các điểm cực đại và giá trị của hàm số tại các biên của đoạn này.
Bước 1: Xác định các điểm cực đại của hàm số từ đồ thị của .
- Từ đồ thị của , ta thấy rằng đổi dấu từ dương sang âm tại . Điều này cho thấy là điểm cực đại của hàm số .
Bước 2: Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực đại.
- Tại :
- Tại :
- Tại :
Bước 3: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất.
- Ta cần so sánh , , và .
Từ đồ thị của , ta thấy rằng:
- trên khoảng , tức là hàm số đang tăng trên khoảng này.
- trên khoảng , tức là hàm số đang giảm trên khoảng này.
Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn sẽ là giá trị tại điểm cực đại .
Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là .
Đáp số: .