khảo sát hàm số

Câu 8 Để xác định hàm số đúng trong bảng biến thiên, ta cần kiểm tra các đặc điểm của hàm số như giới hạn, điểm cực đại, cực tiểu và các điểm bất thường khác. Ta sẽ kiểm tra từng hàm số: A) \( y = \frac{-x - 2}{x - 1} \) - Giới hạn khi \( x \to 1 \): \( \lim_{x \to 1} \frac{-x - 2}{x - 1} = \infty \) hoặc \( -\infty \) - Giới hạn khi \( x \to \infty \): \( \lim_{x \to \infty} \frac{-x - 2}{x - 1} = -1 \) - Đạo hàm: \( y' = \frac{(-1)(x - 1) - (-x - 2)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{-x + 1 + x + 2}{(x - 1)^2} = \frac{3}{(x - 1)^2} \) - Đạo hàm luôn dương, hàm số luôn tăng. B) \( y = \frac{-x + 4}{x - 1} \) - Giới hạn khi \( x \to 1 \): \( \lim_{x \to 1} \frac{-x + 4}{x - 1} = \infty \) hoặc \( -\infty \) - Giới hạn khi \( x \to \infty \): \( \lim_{x \to \infty} \frac{-x + 4}{x - 1} = -1 \) - Đạo hàm: \( y' = \frac{(-1)(x - 1) - (-x + 4)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{-x + 1 + x - 4}{(x - 1)^2} = \frac{-3}{(x - 1)^2} \) - Đạo hàm luôn âm, hàm số luôn giảm. C) \( y = \frac{x + 3}{-x - 1} \) - Giới hạn khi \( x \to -1 \): \( \lim_{x \to -1} \frac{x + 3}{-x - 1} = \infty \) hoặc \( -\infty \) - Giới hạn khi \( x \to \infty \): \( \lim_{x \to \infty} \frac{x + 3}{-x - 1} = -1 \) - Đạo hàm: \( y' = \frac{(1)(-x - 1) - (x + 3)(-1)}{(-x - 1)^2} = \frac{-x - 1 + x + 3}{(-x - 1)^2} = \frac{2}{(-x - 1)^2} \) - Đạo hàm luôn dương, hàm số luôn tăng. D) \( y = \frac{-x + 3}{x - 1} \) - Giới hạn khi \( x \to 1 \): \( \lim_{x \to 1} \frac{-x + 3}{x - 1} = \infty \) hoặc \( -\infty \) - Giới hạn khi \( x \to \infty \): \( \lim_{x \to \infty} \frac{-x + 3}{x - 1} = -1 \) - Đạo hàm: \( y' = \frac{(-1)(x - 1) - (-x + 3)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{-x + 1 + x - 3}{(x - 1)^2} = \frac{-2}{(x - 1)^2} \) - Đạo hàm luôn âm, hàm số luôn giảm. So sánh với bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số \( y = \frac{-x + 3}{x - 1} \) có các đặc điểm phù hợp nhất với bảng biến thiên đã cho. Vậy đáp án đúng là: D) \( y = \frac{-x + 3}{x - 1} \).