giải giúp mình với Câu 6. Giả sử doanh số bán hàng (đơn vị triệu đồng) của một sản phẩm mới trong vòng một số năm nhất định,tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f(t)=500(t^2+me^{-t}),$ với $t\geq0$ là thời gian tính,bằng năm kể từ khi phát hành sản phẩm mới, $m\leq0$ là tham số. Khi đó đạo hàm $f^\prime(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán,hàng. Biết rằng tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu phát hành sản phẩm, khi đó giá,trị nhỏ nhất của m bằng bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Câu 6. Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ m $ sao cho tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu tiên, ta cần tính đạo hàm của hàm số $ f(t) $ và đảm bảo đạo hàm này luôn dương trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 năm. Bước 1: Tính đạo hàm của $ f(t) $. $$ f(t) = 500(t^2 + me^{-t}) $$ $$ f'(t) = 500 \left( 2t - me^{-t} \right) $$ Bước 2: Đảm bảo $ f'(t) > 0 $ trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 năm. $$ 500 \left( 2t - me^{-t} \right) > 0 $$ $$ 2t - me^{-t} > 0 $$ $$ 2t > me^{-t} $$ $$ m < 2te^{t} $$ Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của $ m $ sao cho $ m < 2te^{t} $ luôn đúng trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 năm. Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ g(t) = 2te^{t} $ trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 năm. Bước 4: Tính đạo hàm của $ g(t) $ để tìm cực đại. $$ g(t) = 2te^{t} $$ $$ g'(t) = 2(e^{t} + te^{t}) = 2e^{t}(1 + t) $$ Đạo hàm $ g'(t) $ luôn dương vì $ e^{t} > 0 $ và $ 1 + t > 0 $ trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 năm. Do đó, hàm số $ g(t) $ là hàm số đồng biến trên khoảng này. Bước 5: Tìm giá trị lớn nhất của $ g(t) $ trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 năm. $$ g(10) = 2 \cdot 10 \cdot e^{10} = 20e^{10} $$ Vậy giá trị nhỏ nhất của $ m $ là: $$ m < 20e^{10} $$ Đáp số: $ m < 20e^{10} $