30. Trong tập Zx N* (Z là tập các số nguyên, N* là tập các số tự nhiên khác 0) ta xác định quan hệ ~ như sau: (a, b)~(c, d)ad = bc; (a, b), (c, d) ∈ Z x N*. a) Chứng minh rằng ~ là quan hệ tương đ...

a) Ta chứng minh ~ là quan hệ tương đương trên Z x N. - Quan hệ phản xạ: Với mọi (a, b) ∈ Z x N, ta có ab = ba, do đó (a, b) ~ (a, b). Vậy ~ là quan hệ phản xạ. - Quan hệ đối xứng: Giả sử (a, b) ~ (c, d). Điều này có nghĩa là ad = bc. Từ đó suy ra cb = da, tức là (c, d) ~ (a, b). Vậy ~ là quan hệ đối xứng. - Quan hệ chuyển tiếp: Giả sử (a, b) ~ (c, d) và (c, d) ~ (e, f). Điều này có nghĩa là ad = bc và cf = de. Nhân hai đẳng thức này lại với nhau, ta có adcf = bcde. Chia cả hai vế cho cd (vì c và d đều thuộc N, nên cd ≠ 0), ta được af = be, tức là (a, b) ~ (e, f). Vậy ~ là quan hệ chuyển tiếp. Từ ba tính chất trên, ta kết luận ~ là quan hệ tương đương trên Z x N. b) Ta tìm các lớp tương đương của (1, 1) và (3, 4). - Lớp tương đương của (1, 1): Các cặp số (a, b) sao cho 1b = 1a, tức là a = b. Do đó, lớp tương đương của (1, 1) là {(a, a) | a ∈ Z}. - Lớp tương đương của (3, 4): Các cặp số (a, b) sao cho 3b = 4a. Điều này có nghĩa là \frac{a}{b} = \frac{3}{4}. Do đó, lớp tương đương của (3, 4) là {(3k, 4k) | k ∈ Z}. c) Tập thương Z x N/~ là tập các lớp tương đương của các cặp số trong Z x N. Mỗi lớp tương đương đại diện cho một số hữu tỉ. Vì vậy, tập thương Z x N/~ chính là tập các số hữu tỉ Q. Đáp số: a) ~ là quan hệ tương đương trên Z x N. b) Lớp tương đương của (1, 1) là {(a, a) | a ∈ Z}, lớp tương đương của (3, 4) là {(3k, 4k) | k ∈ Z}. c) Tập thương Z x N/~ là tập các số hữu tỉ Q.