Câu 11.
Để rút gọn biểu thức , chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hàm sin và cos.
Bước 1: Xét biểu thức :
- Ta biết rằng với là số nguyên.
- là một số rất lớn, nhưng quan trọng là nó chia hết cho 2 (vì 123 là số lẻ, và lũy thừa của số lẻ vẫn là số lẻ). Do đó, là số chẵn.
- Vậy là bội của , tức là với là số nguyên.
- Do đó, .
Bước 2: Xét biểu thức :
- Tương tự như trên, là số rất lớn, nhưng quan trọng là nó chia hết cho 2 (vì 524 là số chẵn, và lũy thừa của số chẵn vẫn là số chẵn). Do đó, là số chẵn.
- Vậy là bội của , tức là với là số nguyên.
- Do đó, .
- Vậy .
Bước 3: Kết hợp các kết quả trên:
Vậy đáp án đúng là:
A.
Đáp án: A.
Câu 12.
Để tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau:
1. Tính tổng số lượng các giá trị trong mẫu số liệu:
Tổng số cây dừa là 25.
2. Xác định vị trí của trung vị:
Vì số lượng giá trị là lẻ (25), nên trung vị nằm ở vị trí .
3. Xác định khoảng chứa trung vị:
- Khoảng [0;10): 4 cây.
- Khoảng [10;20): 6 cây (tổng từ 0 đến 10 là 4 + 6 = 10).
- Khoảng [20;30): 7 cây (tổng từ 0 đến 20 là 10 + 7 = 17).
Vị trí 13 nằm trong khoảng [20;30), vì 10 < 13 ≤ 17.
4. Áp dụng công thức tính trung vị cho mẫu số liệu ghép nhóm:
Trung vị được tính theo công thức:
Trong đó:
- là giới hạn dưới của khoảng chứa trung vị (ở đây là 20).
- là tổng số lượng giá trị (ở đây là 25).
- là tổng tần số của các khoảng trước khoảng chứa trung vị (ở đây là 10).
- là tần số của khoảng chứa trung vị (ở đây là 7).
- là khoảng cách giữa hai giới hạn của khoảng chứa trung vị (ở đây là 10).
Thay các giá trị vào công thức:
Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là .
Đáp án đúng là: D. .
Câu 13.
Giá trị đại diện của nhóm là trung điểm của khoảng này.
Ta tính như sau:
Giá trị đại diện của nhóm là:
Vậy đáp án đúng là D. 22,5.
Câu 14.
Để xác định nhóm chứa mốt (mode), tức là nhóm có tần số xuất hiện nhiều nhất trong dữ liệu, ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định tần số của mỗi nhóm:
- Nhóm có 1 quả cam.
- Nhóm có 3 quả cam.
- Nhóm có 7 quả cam.
- Nhóm có 10 quả cam.
- Nhóm có 4 quả cam.
2. So sánh tần số của các nhóm:
- Nhóm : 1 quả cam.
- Nhóm : 3 quả cam.
- Nhóm : 7 quả cam.
- Nhóm : 10 quả cam.
- Nhóm : 4 quả cam.
Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm với 10 quả cam.
Do đó, nhóm chứa mốt là nhóm .
Đáp án đúng là: B. .
Câu 15.
Cấp số nhân có số hạng đầu và công bội . Ta cần tìm số hạng sao cho tổng số hạng đầu tiên bằng 21.
Tổng số hạng đầu tiên của một cấp số nhân được tính theo công thức:
Áp dụng vào bài toán:
Theo đề bài, tổng này bằng 21:
Chia cả hai vế cho 3:
Cộng thêm 1 vào cả hai vế:
Biểu diễn 8 dưới dạng lũy thừa của 2:
Do đó:
Vậy đáp án đúng là:
D.
Đáp số:
Câu 16.
Để viết ba số hạng đầu tiên của dãy số với công thức , ta thực hiện như sau:
1. Tính :
2. Tính :
3. Tính :
Vậy ba số hạng đầu tiên của dãy số là 3, 5 và 7.
Do đó, đáp án đúng là:
C. 3;5;7.
Câu 17.
Để xác định đẳng thức nào sai, chúng ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức một.
A.
Đây là công thức cộng cho tổng hai sin, nên nó đúng.
B.
Đây là công thức nhân đôi cho tích hai cos, nên nó đúng.
C.
Đây là công thức trừ cho sin, nên nó đúng.
D.
Đây là công thức sai. Công thức đúng phải là .
Do đó, đáp án đúng là D. là đẳng thức sai.
Câu 18.
Để tìm nhóm chứa tử phân vị thứ ba của mẫu số liệu, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
1. Tính tổng số học sinh trong mẫu số liệu:
2. Tìm vị trí của tử phân vị thứ ba:
3. Xác định nhóm chứa tử phân vị thứ ba:
- Nhóm [0; 20): 5 học sinh
- Nhóm [20; 40): 5 + 9 = 14 học sinh
- Nhóm (40; 60): 14 + 12 = 26 học sinh
- Nhóm [60; 80): 26 + 10 = 36 học sinh
Vị trí 32.25 nằm trong khoảng từ 26 đến 36, do đó nhóm chứa tử phân vị thứ ba là nhóm [60; 80).
Vậy đáp án đúng là:
D.
Câu 19.
Để chuyển đổi từ đơn vị độ sang đơn vị radian, ta sử dụng công thức sau:
Trong bài này, số đo cung trong độ là . Ta thay vào công thức trên:
Rút gọn biểu thức:
Vậy, số đo của cung tròn theo đơn vị radian là .
Do đó, đáp án đúng là:
C. .
Câu 20.
Câu hỏi:
Cho cấp số cộng thỏa mãn Số hạng thứ 10 của dãy này là
A. B. C. D. .
Câu trả lời:
Trước tiên, ta xét phương trình đầu tiên:
Phương trình này đơn giản hóa thành:
Tiếp theo, ta xét phương trình thứ hai:
Thay vào phương trình này:
Giải ra ta được:
Bây giờ, ta biết rằng và . Ta sẽ tìm công sai của cấp số cộng. Công thức tổng quát của số hạng thứ trong cấp số cộng là:
Áp dụng cho :
Áp dụng cho :
Ta có hệ phương trình:
Lấy phương trình thứ hai trừ đi phương trình thứ nhất:
Thay vào phương trình :
Bây giờ, ta tìm số hạng thứ 10 của dãy:
Nhưng ta thấy rằng đáp án không nằm trong các lựa chọn đã cho. Do đó, ta kiểm tra lại các bước tính toán và thấy rằng có thể có lỗi trong việc hiểu đề bài hoặc trong quá trình tính toán. Ta nên kiểm tra lại đề bài và các phương pháp đã áp dụng.
Kết luận:
Đáp án đúng là .
Đáp án: A. .
Câu 21.
Câu hỏi:
Một hội trường lớn có 35 ghế ở hàng đầu tiên, 37 ghế ở hàng thứ hai, 39 ghế ở hàng thứ ba và cứ tiếp tục theo quy luật như vậy. Có tất cả 27 hàng ghế. Hội trường đó có số ghế là
A. 1615. B. 1200. C. 1700. D. 1647.
Vui lòng lập luận từng bước.
Câu trả lời:
Để tìm tổng số ghế trong hội trường, chúng ta cần tính tổng của dãy số ghế theo quy luật đã cho.
Dãy số ghế là: 35, 37, 39, ..., và cứ tăng thêm 2 ghế mỗi hàng tiếp theo.
Đây là dãy số cách đều với khoảng cách là 2.
Công thức tính tổng của dãy số cách đều là:
Trong đó:
- là số hạng của dãy số (tức là số hàng ghế).
- là số ghế ở hàng đầu tiên.
- là số ghế ở hàng cuối cùng.
Ta có:
-
-
Để tìm (số ghế ở hàng thứ 27), ta sử dụng công thức số hạng thứ n của dãy số cách đều:
Trong đó là khoảng cách giữa các số hạng.
Với :
Bây giờ, ta tính tổng số ghế:
Vậy, hội trường đó có số ghế là 1647.
Đáp án đúng là: D. 1647.
Câu 22.
Để xác định xem một dãy số có phải là cấp số nhân hay không, ta cần kiểm tra xem thương giữa hai số hạng liên tiếp có là hằng số không. Cụ thể, ta cần kiểm tra liệu có là hằng số không.
Ta xét từng trường hợp:
1. Dãy số với :
- Số hạng thứ :
- Thương giữa hai số hạng liên tiếp:
- Kết luận: Dãy số này là cấp số nhân với công bội .
2. Dãy số với :
- Số hạng thứ :
- Thương giữa hai số hạng liên tiếp:
- Kết luận: Thương này không là hằng số, do đó dãy số này không phải là cấp số nhân.
3. Dãy số với :
- Số hạng thứ :
- Thương giữa hai số hạng liên tiếp:
- Kết luận: Dãy số này là cấp số nhân với công bội .
4. Dãy số với :
- Số hạng thứ :
- Thương giữa hai số hạng liên tiếp:
- Kết luận: Thương này không là hằng số, do đó dãy số này không phải là cấp số nhân.
Tóm lại, trong các dãy số đã cho, chỉ có các dãy số với và là cấp số nhân.