Tính giá trị S.

Câu 44: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) và đường thẳng \( y = 1 \) là: \[ x^3 + 3x^2 + mx + 1 = 1 \] \[ x^3 + 3x^2 + mx = 0 \] \[ x(x^2 + 3x + m) = 0 \] Do đó, ta có các nghiệm \( x = 0 \) và \( x^2 + 3x + m = 0 \). Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng \( y = 1 \) tại ba điểm phân biệt \( A(0;1), B, C \), phương trình \( x^2 + 3x + m = 0 \) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0. Điều này xảy ra khi: \[ \Delta = 9 - 4m > 0 \] \[ 9 - 4m > 0 \] \[ m < \frac{9}{4} \] Gọi \( x_1 \) và \( x_2 \) là các nghiệm của phương trình \( x^2 + 3x + m = 0 \). Ta có: \[ x_1 + x_2 = -3 \] \[ x_1 x_2 = m \] Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) tại \( B \) và \( C \) có hệ số góc lần lượt là \( f'(x_1) \) và \( f'(x_2) \). Ta có: \[ f'(x) = 3x^2 + 6x + m \] Để các tiếp tuyến tại \( B \) và \( C \) vuông góc với nhau, ta có: \[ f'(x_1) \cdot f'(x_2) = -1 \] \[ (3x_1^2 + 6x_1 + m)(3x_2^2 + 6x_2 + m) = -1 \] Thay \( x_1 + x_2 = -3 \) và \( x_1 x_2 = m \) vào, ta có: \[ (3x_1^2 + 6x_1 + m)(3x_2^2 + 6x_2 + m) = -1 \] \[ (3(x_1^2 + x_2^2) + 6(x_1 + x_2) + 2m) = -1 \] \[ (3((x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2) + 6(x_1 + x_2) + 2m) = -1 \] \[ (3(9 - 2m) - 18 + 2m) = -1 \] \[ (27 - 6m - 18 + 2m) = -1 \] \[ (9 - 4m) = -1 \] \[ 4m = 10 \] \[ m = \frac{5}{2} \] Vậy giá trị của \( S \) là: \[ S = \frac{5}{2} \]