Giúp em với ạ

Bài 6. Để tìm thời gian chậm nhất mà anh Tài di chuyển từ P đến R, chúng ta cần xem xét hai phần của hành trình: chèo thuyền từ P đến Q và chạy bộ từ Q đến R. Gọi khoảng cách từ P đến Q là \( x \) km. Khi đó, khoảng cách từ Q đến R sẽ là \( (2\pi - x) \) km vì chu vi của bán nguyệt là \( 2\pi \times 2 = 4\pi \) km. Thời gian để chèo thuyền từ P đến Q là: \[ t_1 = \frac{x}{3} \text{ giờ} \] Thời gian để chạy bộ từ Q đến R là: \[ t_2 = \frac{4\pi - x}{6} \text{ giờ} \] Tổng thời gian di chuyển là: \[ T = t_1 + t_2 = \frac{x}{3} + \frac{4\pi - x}{6} \] Chúng ta cần tối thiểu hóa tổng thời gian \( T \). Để làm điều này, chúng ta sẽ tìm đạo hàm của \( T \) theo \( x \) và đặt nó bằng 0. \[ T = \frac{x}{3} + \frac{4\pi - x}{6} = \frac{2x + 4\pi - x}{6} = \frac{x + 4\pi}{6} \] Đạo hàm của \( T \) theo \( x \): \[ \frac{dT}{dx} = \frac{1}{6} \] Vì đạo hàm là hằng số dương, \( T \) sẽ giảm dần khi \( x \) tăng lên. Do đó, để tối thiểu hóa \( T \), chúng ta cần chọn \( x \) sao cho \( x \) càng lớn càng tốt, nhưng không vượt quá bán kính của bán nguyệt, tức là \( x \leq 2 \). Khi \( x = 2 \): \[ T = \frac{2 + 4\pi}{6} = \frac{2 + 4\pi}{6} = \frac{1 + 2\pi}{3} \text{ giờ} \] Chuyển đổi thời gian sang phút: \[ T = \frac{1 + 2\pi}{3} \times 60 = 20 + 40\pi \approx 20 + 40 \times 3.14 = 20 + 125.6 = 145.6 \text{ phút} \] Vậy thời gian chậm nhất mà anh Tài di chuyển từ P đến R là khoảng 145.6 phút. Bài 7. Để tìm cực đại lợi nhuận của xí nghiệp A, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm hàm lợi nhuận \( f(x) \): Hàm lợi nhuận \( f(x) \) được xác định bằng: \[ f(x) = TR - TC \] Thay các hàm \( TR \) và \( TC \) vào: \[ f(x) = (-2x^2 + 1312x) - (x^3 - 77x^2 + 1000x + 40000) \] \[ f(x) = -2x^2 + 1312x - x^3 + 77x^2 - 1000x - 40000 \] \[ f(x) = -x^3 + 75x^2 + 312x - 40000 \] 2. Tìm đạo hàm của hàm lợi nhuận \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 75x^2 + 312x - 40000) \] \[ f'(x) = -3x^2 + 150x + 312 \] 3. Tìm điểm cực đại của hàm lợi nhuận: Để tìm điểm cực đại, chúng ta cần giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ -3x^2 + 150x + 312 = 0 \] Chia cả hai vế cho -3: \[ x^2 - 50x - 104 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 1 \), \( b = -50 \), và \( c = -104 \): \[ x = \frac{50 \pm \sqrt{(-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-104)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{50 \pm \sqrt{2500 + 416}}{2} \] \[ x = \frac{50 \pm \sqrt{2916}}{2} \] \[ x = \frac{50 \pm 54}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{50 + 54}{2} = 52 \] \[ x_2 = \frac{50 - 54}{2} = -2 \] Vì \( x \) là số lượng sản phẩm, nên chỉ chấp nhận nghiệm dương: \[ x = 52 \] 4. Kiểm tra tính chất cực đại: Để kiểm tra xem \( x = 52 \) là điểm cực đại, chúng ta cần tính đạo hàm thứ hai \( f''(x) \): \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 150x + 312) \] \[ f''(x) = -6x + 150 \] Thay \( x = 52 \) vào: \[ f''(52) = -6 \cdot 52 + 150 \] \[ f''(52) = -312 + 150 \] \[ f''(52) = -162 \] Vì \( f''(52) < 0 \), nên \( x = 52 \) là điểm cực đại. Vậy, cực đại lợi nhuận của xí nghiệp A đạt được khi sản xuất 52 sản phẩm. Bài 8. Để tìm giá trị cực đại của hàm số $C(x) = \frac{30x}{x^2 + 2}$ trong khoảng thời gian 6 phút sau khi tiêm, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $C(x)$. \[ C'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{30x}{x^2 + 2}\right) \] Áp dụng quy tắc thương: \[ C'(x) = \frac{(30)(x^2 + 2) - (30x)(2x)}{(x^2 + 2)^2} \] \[ C'(x) = \frac{30x^2 + 60 - 60x^2}{(x^2 + 2)^2} \] \[ C'(x) = \frac{-30x^2 + 60}{(x^2 + 2)^2} \] \[ C'(x) = \frac{-30(x^2 - 2)}{(x^2 + 2)^2} \] Bước 2: Tìm điểm cực đại bằng cách giải phương trình $C'(x) = 0$. \[ \frac{-30(x^2 - 2)}{(x^2 + 2)^2} = 0 \] \[ -30(x^2 - 2) = 0 \] \[ x^2 - 2 = 0 \] \[ x^2 = 2 \] \[ x = \sqrt{2} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{2} \] Vì thời gian không thể là số âm, ta chỉ xét $x = \sqrt{2}$. Bước 3: Kiểm tra tính chất của đạo hàm để xác định cực đại. Ta thấy rằng $C'(x)$ chuyển từ dương sang âm tại $x = \sqrt{2}$, do đó $x = \sqrt{2}$ là điểm cực đại. Bước 4: Tính giá trị của hàm số $C(x)$ tại điểm cực đại $x = \sqrt{2}$. \[ C(\sqrt{2}) = \frac{30\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 + 2} \] \[ C(\sqrt{2}) = \frac{30\sqrt{2}}{2 + 2} \] \[ C(\sqrt{2}) = \frac{30\sqrt{2}}{4} \] \[ C(\sqrt{2}) = \frac{15\sqrt{2}}{2} \] Bước 5: Làm tròn kết quả đến hàng phần mười. \[ \frac{15\sqrt{2}}{2} \approx \frac{15 \times 1.414}{2} \approx \frac{21.21}{2} \approx 10.6 \] Vậy giá trị cực đại của hàm nồng độ thuốc trong máu $C(x)$ trong khoảng thời gian 6 phút sau khi tiêm là khoảng 10.6 mg/L. Bài 9. Gọi độ dài đoạn cắt là $x$ (đơn vị: mét). Diện tích phần bị cắt là: $S_{1} = 4 \times \frac{x(20 - x)}{2} = 2x(20 - x)$ Diện tích toàn phần của chóp là: $S_{2} = 20^{2} - S_{1} = 400 - 2x(20 - x)$ Diện tích đáy của chóp là: $S_{đ} = (20 - 2x)^{2}$ Chiều cao của chóp là: $h = \sqrt{10^{2} - (10 - x)^{2}} = \sqrt{20x - x^{2}}$ Thể tích của chóp là: $V = \frac{1}{3} S_{đ} \times h = \frac{1}{3} (20 - 2x)^{2} \times \sqrt{20x - x^{2}}$ Để $V$ đạt giá trị lớn nhất thì $(20 - 2x)^{2} \times \sqrt{20x - x^{2}}$ phải lớn nhất. Ta có: $(20 - 2x)^{2} \times \sqrt{20x - x^{2}} = 4(10 - x)^{2} \times \sqrt{20x - x^{2}}$ $= 4 \times \frac{1}{3} \sqrt{(10 - x)^{2}(10 - x)^{2}(80 - 4x)}$ $\leq 4 \times \frac{1}{3} \sqrt{\left(\frac{(10 - x) + (10 - x) + (80 - 4x)}{3}\right)^{3}} = \frac{4}{3} \sqrt{\left(\frac{100 - 6x}{3}\right)^{3}}$ Đẳng thức xảy ra khi: $10 - x = 80 - 4x$ $x = 20$ Vậy để thể tích chóp lớn nhất thì $x = 20$. Diện tích phần bị cắt là: $S_{1} = 2 \times 20 \times (20 - 20) = 0$ Đáp số: 0 m². Bài 1. Để tìm thời điểm mà số vi khuẩn lớn nhất, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số $N(t)$. Ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ N'(t) = \frac{d}{dt}(1000 + 30t^2 - t^3) = 60t - 3t^2 \] 2. Tìm các điểm cực trị: \[ N'(t) = 0 \] \[ 60t - 3t^2 = 0 \] \[ 3t(20 - t) = 0 \] \[ t = 0 \text{ hoặc } t = 20 \] 3. Kiểm tra tính chất của các điểm cực trị: - Tại $t = 0$: \[ N''(t) = \frac{d}{dt}(60t - 3t^2) = 60 - 6t \] \[ N''(0) = 60 > 0 \] Do đó, $t = 0$ là điểm cực tiểu. - Tại $t = 20$: \[ N''(20) = 60 - 6 \times 20 = 60 - 120 = -60 < 0 \] Do đó, $t = 20$ là điểm cực đại. 4. So sánh giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực đại: - Tại $t = 0$: \[ N(0) = 1000 + 30 \times 0^2 - 0^3 = 1000 \] - Tại $t = 20$: \[ N(20) = 1000 + 30 \times 20^2 - 20^3 = 1000 + 30 \times 400 - 8000 = 1000 + 12000 - 8000 = 5000 \] - Tại $t = 30$: \[ N(30) = 1000 + 30 \times 30^2 - 30^3 = 1000 + 30 \times 900 - 27000 = 1000 + 27000 - 27000 = 1000 \] Như vậy, giá trị lớn nhất của hàm số $N(t)$ là 5000, đạt được tại $t = 20$. Kết luận: Số vi khuẩn lớn nhất sau 20 phút. Bài 2. Gọi giá vé vào cửa là \( x \) USD/người, số người đến xem là \( y \) người. Theo đề bài, nếu giá vé vào cửa là 20 USD/người thì trung bình có 1000 người đến xem. Nếu tăng thêm 1 USD/người thì sẽ mất 100 khách hàng hoặc giảm đi 1 USD/người thì sẽ có thêm 100 khách hàng. Ta có thể biểu diễn mối liên hệ giữa giá vé và số người đến xem dưới dạng phương trình: \[ y = 1000 - 100(x - 20) \] Rút gọn phương trình trên: \[ y = 1000 - 100x + 2000 \] \[ y = 3000 - 100x \] Lợi nhuận từ việc bán vé được tính bằng cách nhân số vé đã bán với giá vé: \[ Lợi nhuận = x \cdot y \] \[ Lợi nhuận = x(3000 - 100x) \] \[ Lợi nhuận = 3000x - 100x^2 \] Để tìm giá vé tối ưu hóa lợi nhuận, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho lợi nhuận đạt cực đại. Ta sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực đại: \[ f(x) = 3000x - 100x^2 \] Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 3000 - 200x \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị của \( x \) tại điểm cực đại: \[ 3000 - 200x = 0 \] \[ 200x = 3000 \] \[ x = 15 \] Vậy giá vé tối ưu để đạt lợi nhuận cao nhất là 15 USD/người. Đáp số: Giá vé tối ưu là 15 USD/người.