Bài 12.
Để tìm thời điểm mực nước trong hồ đạt mức cao nhất, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số . Ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm của hàm số:
2. Tìm các điểm cực trị:
Giải phương trình bậc hai:
Ta có hai nghiệm:
Vì , ta chỉ xét nghiệm .
3. Kiểm tra tính chất cực trị tại điểm :
Ta kiểm tra đạo hàm hai bên điểm :
- Khi : (hàm số tăng)
- Khi : (hàm số giảm)
Vậy là điểm cực đại của hàm số.
4. Tính thời điểm cần thông báo:
Theo quy định, phải thông báo trước 5 giờ khi xả nước. Do đó, cần thông báo trước:
Vậy cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước vào lúc 7 giờ.
Đáp số: 7 giờ.
Bài 13.
Chiều dài và chiều rộng của bể cá là và . Chiều cao của bể cá là . Thể tích của bể cá là .
Từ đó ta có:
Diện tích của mặt đáy là . Diện tích của mỗi mặt bên là hoặc .
Giá thành của kính làm mặt bên là , tức là . Giá thành của kính làm mặt đáy là , tức là .
Chi phí cho mặt đáy là:
Chi phí cho hai mặt bên là:
Ta cần tìm giá trị của và sao cho tổng diện tích của hai mặt bên là nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi , tức là bể cá có dạng hình lập phương.
Khi đó:
Diện tích của mỗi mặt bên là:
Chi phí cho hai mặt bên là:
Tổng chi phí là:
Đáp số: 4960000 VNĐ.
Bài 14.
Để tìm tổng số ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng được khoán, ta làm như sau:
1. Tính tổng số xăng mà hai tài xế được khoán:
2. Biết rằng trong một ngày tổng số xăng cả hai người sử dụng là 10 lít.
3. Tính số ngày ít nhất để sử dụng hết số xăng:
Vì số ngày phải là số nguyên, nên ta làm tròn lên đến số ngày gần nhất lớn hơn 10.4, tức là 11 ngày.
Vậy tổng số ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng được khoán là 11 ngày.
Đáp số: 11 ngày.
Bài 15.
Để tìm thời điểm mà nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số . Ta sẽ sử dụng đạo hàm để tìm cực đại của hàm số này.
Bước 1: Tính đạo hàm của
Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0
Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm để xác định tính chất của các điểm cực trị
- Khi : nên
- Khi : nên
- Khi : nên
Từ đó, ta thấy:
- chuyển từ dương sang âm tại , do đó là điểm cực đại.
- chuyển từ âm sang dương tại , do đó là điểm cực tiểu.
Bước 4: Kết luận
Vì thời gian phải là số dương, ta chỉ quan tâm đến . Do đó, sau khi tiêm thuốc khoảng 1 giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân đạt mức cao nhất.
Đáp số: Sau 1 giờ
Bài 16.
Gọi chiều rộng là , chiều dài là , chiều cao là .
Diện tích toàn phần của bể cá là .
Theo đề bài ta có , suy ra .
Dung tích của bể cá là .
Ta có .
Đặt , ta tìm được .
Vậy dung tích lớn nhất của bể cá là .
Bài 17.
Gọi chiều rộng là a, chiều dài là 2a, chiều cao là h.
Theo đề bài ta có:
Diện tích toàn phần của bể cá là:
Thay vào ta được:
Đạo hàm S theo a ta được:
Để S đạt giá trị nhỏ nhất thì S' = 0
Thay a = 6 vào ta được:
Chi phí thuê nhân công là:
đồng
Đáp số: 144000000 đồng
Bài 1.
Để tìm số bộ phận một nhân viên lắp ráp tối đa không vượt quá bao nhiêu, chúng ta cần tìm giới hạn của hàm số khi tiến đến vô cùng.
Bước 1: Xác định hàm số :
Bước 2: Tính giới hạn của khi tiến đến vô cùng:
Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho :
Bước 4: Khi tiến đến vô cùng, tiến đến 0:
Vậy, khi số ngày đào tạo tăng lên, số bộ phận một nhân viên lắp ráp tối đa không vượt quá 50 bộ phận mỗi ngày.
Đáp số: 50 bộ phận mỗi ngày.
Bài 2.
a) Sau 20 phút, số lít nước muối đã bơm vào bể là:
30 × 20 = 600 (l)
Số gam muối đã bơm vào bể là:
600 × 20 = 12 000 (g)
Tổng thể tích dung dịch trong bể là:
1 000 + 600 = 1 600 (l)
Nồng độ muối trong bể sau 20 phút là:
(g/l)
Đáp số: 7,5 g/l
b) Sau t phút, số lít nước muối đã bơm vào bể là:
30 × t = 30t (l)
Số gam muối đã bơm vào bể là:
30t × 20 = 600t (g)
Tổng thể tích dung dịch trong bể là:
1 000 + 30t (l)
Nồng độ muối trong bể sau t phút là:
(g/l)
Đáp số: (g/l)
c) Nếu cứ bơm liên tục thì nồng độ muối trong bể sẽ dần dần tăng lên và
tới gần 20 g/l.
Bài 3.
Để tìm hàm số biểu thị chi phí trung bình , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm tổng chi phí:
Tổng chi phí để sản xuất x sản phẩm được cho bởi hàm số .
2. Tính chi phí trung bình:
Chi phí trung bình là tổng chi phí chia cho số lượng sản phẩm.
3. Thay tổng chi phí vào biểu thức chi phí trung bình:
4. Rút gọn biểu thức:
Vậy hàm số biểu thị chi phí trung bình là: