trả lời đúng sai và trả lời ngắn

Câu 4: a) Vận tốc của chất điểm được xác định bằng đạo hàm của hàm số vị trí \( S(t) \): \[ v(t) = \frac{dS(t)}{dt} = -\frac{3}{2}t^2 + 6t \] b) Để xác định hướng chuyển động của chất điểm trong khoảng thời gian từ 2 giây đến 4 giây, ta cần kiểm tra dấu của vận tốc \( v(t) \) trong khoảng này: \[ v(t) = -\frac{3}{2}t^2 + 6t \] Tìm nghiệm của phương trình \( v(t) = 0 \): \[ -\frac{3}{2}t^2 + 6t = 0 \] \[ t(-\frac{3}{2}t + 6) = 0 \] \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad -\frac{3}{2}t + 6 = 0 \] \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = 4 \] Do đó, \( v(t) > 0 \) khi \( 0 < t < 4 \). Vì vậy, trong khoảng thời gian từ 2 giây đến 4 giây, chất điểm chuyển động sang phải. c) Để tìm khoảng cách lớn nhất đến gốc 0 mà chất điểm đạt được trong khoảng thời gian 8 giây, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số \( S(t) \) trong khoảng \( 0 \leq t \leq 8 \): \[ S(t) = -\frac{1}{2}t^3 + 3t^2 + 4 \] Tìm đạo hàm của \( S(t) \): \[ S'(t) = -\frac{3}{2}t^2 + 6t \] Tìm nghiệm của phương trình \( S'(t) = 0 \): \[ -\frac{3}{2}t^2 + 6t = 0 \] \[ t(-\frac{3}{2}t + 6) = 0 \] \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = 4 \] Kiểm tra giá trị của \( S(t) \) tại các điểm \( t = 0 \), \( t = 4 \), và \( t = 8 \): \[ S(0) = -\frac{1}{2}(0)^3 + 3(0)^2 + 4 = 4 \] \[ S(4) = -\frac{1}{2}(4)^3 + 3(4)^2 + 4 = -\frac{1}{2}(64) + 3(16) + 4 = -32 + 48 + 4 = 20 \] \[ S(8) = -\frac{1}{2}(8)^3 + 3(8)^2 + 4 = -\frac{1}{2}(512) + 3(64) + 4 = -256 + 192 + 4 = -60 \] Vậy khoảng cách lớn nhất đến gốc 0 mà chất điểm đạt được là 20 mét. d) Để tìm thời điểm mà chất điểm đạt tốc độ lớn nhất trong khoảng thời gian 6 giây, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số \( v(t) \) trong khoảng \( 0 \leq t \leq 6 \): \[ v(t) = -\frac{3}{2}t^2 + 6t \] Tìm đạo hàm của \( v(t) \): \[ v'(t) = -3t + 6 \] Tìm nghiệm của phương trình \( v'(t) = 0 \): \[ -3t + 6 = 0 \] \[ t = 2 \] Kiểm tra giá trị của \( v(t) \) tại các điểm \( t = 0 \), \( t = 2 \), và \( t = 6 \): \[ v(0) = -\frac{3}{2}(0)^2 + 6(0) = 0 \] \[ v(2) = -\frac{3}{2}(2)^2 + 6(2) = -\frac{3}{2}(4) + 12 = -6 + 12 = 6 \] \[ v(6) = -\frac{3}{2}(6)^2 + 6(6) = -\frac{3}{2}(36) + 36 = -54 + 36 = -18 \] Vậy chất điểm đạt tốc độ lớn nhất tại \( t = 2 \) giây, và tại thời điểm này, chất điểm nằm bên phải gốc O vì \( S(2) = -\frac{1}{2}(2)^3 + 3(2)^2 + 4 = -4 + 12 + 4 = 12 \) mét. Đáp số: a) \( v(t) = -\frac{3}{2}t^2 + 6t \) b) Chất điểm chuyển động sang phải trong khoảng thời gian từ 2 giây đến 4 giây. c) Khoảng cách lớn nhất đến gốc 0 mà chất điểm đạt được là 20 mét. d) Chất điểm đạt tốc độ lớn nhất tại vị trí nằm bên phải gốc O. Câu 1: Để tìm giá trị của biểu thức \( P = 3x_1 + 5x_2 \), chúng ta cần xác định các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 3x + 1 \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số. \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 1) = 3x^2 - 3 \] Bước 2: Xác định các điểm cực đại và cực tiểu bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm \( x = 1 \) và \( x = -1 \). - Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai để xác định tính chất của các điểm này. \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 3) = 6x \] Tại \( x = 1 \): \[ y''(1) = 6 \cdot 1 = 6 > 0 \] Do đó, \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. Tại \( x = -1 \): \[ y''(-1) = 6 \cdot (-1) = -6 < 0 \] Do đó, \( x = -1 \) là điểm cực đại. Bước 4: Thay vào biểu thức \( P = 3x_1 + 5x_2 \). - \( x_1 = -1 \) (điểm cực đại) - \( x_2 = 1 \) (điểm cực tiểu) \[ P = 3(-1) + 5(1) \] \[ P = -3 + 5 \] \[ P = 2 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là \( 2 \). Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào các đặc điểm của đồ thị hàm số $y=\frac{3x+a}{x+b}$. 1. Xác định đường tiệm cận đứng: - Đường tiệm cận đứng của hàm số $y=\frac{3x+a}{x+b}$ là $x=-b$. - Từ đồ thị, ta thấy đường tiệm cận đứng là $x=-1$. Do đó, ta có $-b = -1 \Rightarrow b = 1$. 2. Xác định đường tiệm cận ngang: - Đường tiệm cận ngang của hàm số $y=\frac{3x+a}{x+b}$ là $y=3$ (vì hệ số của $x$ ở tử số và mẫu số đều là 3). - Từ đồ thị, ta thấy đường tiệm cận ngang là $y=3$. Điều này phù hợp với nhận xét trên. 3. Xác định giao điểm với trục tung: - Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm $(0, y)$, tức là khi $x=0$, ta có $y=\frac{a}{b}$. - Từ đồ thị, ta thấy giao điểm với trục tung là $(0, 2)$. Do đó, ta có $\frac{a}{b} = 2$. - Thay $b = 1$ vào, ta có $\frac{a}{1} = 2 \Rightarrow a = 2$. 4. Tính giá trị biểu thức $T = 2a + b$: - Ta đã tìm được $a = 2$ và $b = 1$. - Do đó, $T = 2a + b = 2 \times 2 + 1 = 4 + 1 = 5$. Vậy giá trị của biểu thức $T$ là $\boxed{5}$.