Giúp với ạ

Câu 47. Để tìm tọa độ tâm \( I(a, b, c) \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \), ta cần sử dụng tính chất rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh tam giác đó. Bước 1: Tìm phương trình đường trung trực của đoạn thẳng \( AB \). - Tìm trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( AB \): \[ M = \left( \frac{5 + 4}{2}, \frac{1 + 3}{2}, \frac{5 + 2}{2} \right) = \left( \frac{9}{2}, 2, \frac{7}{2} \right) \] - Tìm vectơ pháp tuyến \( \vec{n}_{AB} \) của mặt phẳng chứa đường trung trực của \( AB \): \[ \vec{AB} = (4 - 5, 3 - 1, 2 - 5) = (-1, 2, -3) \] \[ \vec{n}_{AB} = \vec{AB} = (-1, 2, -3) \] Phương trình đường trung trực của \( AB \): \[ -1(x - \frac{9}{2}) + 2(y - 2) - 3(z - \frac{7}{2}) = 0 \] \[ -x + \frac{9}{2} + 2y - 4 - 3z + \frac{21}{2} = 0 \] \[ -x + 2y - 3z + 11 = 0 \] Bước 2: Tìm phương trình đường trung trực của đoạn thẳng \( BC \). - Tìm trung điểm \( N \) của đoạn thẳng \( BC \): \[ N = \left( \frac{4 + (-3)}{2}, \frac{3 + (-2)}{2}, \frac{2 + 1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) \] - Tìm vectơ pháp tuyến \( \vec{n}_{BC} \) của mặt phẳng chứa đường trung trực của \( BC \): \[ \vec{BC} = (-3 - 4, -2 - 3, 1 - 2) = (-7, -5, -1) \] \[ \vec{n}_{BC} = \vec{BC} = (-7, -5, -1) \] Phương trình đường trung trực của \( BC \): \[ -7(x - \frac{1}{2}) - 5(y - \frac{1}{2}) - 1(z - \frac{3}{2}) = 0 \] \[ -7x + \frac{7}{2} - 5y + \frac{5}{2} - z + \frac{3}{2} = 0 \] \[ -7x - 5y - z + 8 = 0 \] Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm tọa độ tâm \( I(a, b, c) \): \[ \begin{cases} -x + 2y - 3z + 11 = 0 \\ -7x - 5y - z + 8 = 0 \end{cases} \] Ta có: \[ -x + 2y - 3z = -11 \quad \text{(1)} \] \[ -7x - 5y - z = -8 \quad \text{(2)} \] Nhân phương trình (1) với 7: \[ -7x + 14y - 21z = -77 \quad \text{(3)} \] Lấy phương trình (3) trừ phương trình (2): \[ (-7x + 14y - 21z) - (-7x - 5y - z) = -77 - (-8) \] \[ 19y - 20z = -69 \quad \text{(4)} \] Giải phương trình (4) để tìm \( y \) và \( z \): \[ 19y = 20z - 69 \] \[ y = \frac{20z - 69}{19} \] Thay vào phương trình (1): \[ -x + 2 \left( \frac{20z - 69}{19} \right) - 3z = -11 \] \[ -x + \frac{40z - 138}{19} - 3z = -11 \] \[ -19x + 40z - 138 - 57z = -209 \] \[ -19x - 17z = -71 \] \[ 19x = 17z + 71 \] \[ x = \frac{17z + 71}{19} \] Chọn \( z = 1 \): \[ x = \frac{17 \cdot 1 + 71}{19} = \frac{88}{19} \] \[ y = \frac{20 \cdot 1 - 69}{19} = \frac{-49}{19} \] Tọa độ tâm \( I \) là \( \left( \frac{88}{19}, \frac{-49}{19}, 1 \right) \). Cuối cùng, tính \( a + 2b + c \): \[ a + 2b + c = \frac{88}{19} + 2 \left( \frac{-49}{19} \right) + 1 \] \[ = \frac{88}{19} - \frac{98}{19} + 1 \] \[ = \frac{88 - 98}{19} + 1 \] \[ = \frac{-10}{19} + 1 \] \[ = \frac{-10 + 19}{19} \] \[ = \frac{9}{19} \] Đáp số: \( \frac{9}{19} \) Câu 48: Để tìm toạ độ của chân đường cao hạ từ A xuống BC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2-1, -1-2, 3-3) = (1, -3, 0) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, 1-2, 1-3) = (-2, -1, -2) \] 2. Tìm vectơ $\overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (-1-2, 1+1, 1-3) = (-3, 2, -2) \] 3. Vì H là chân đường cao hạ từ A xuống BC, nên $\overrightarrow{AH}$ vuông góc với $\overrightarrow{BC}$. Ta có: \[ \overrightarrow{AH} = H - A = (a-1, b-2, c-3) \] \[ \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \] \[ (a-1)(-3) + (b-2)(2) + (c-3)(-2) = 0 \] \[ -3a + 3 + 2b - 4 - 2c + 6 = 0 \] \[ -3a + 2b - 2c + 5 = 0 \] \[ 3a - 2b + 2c = 5 \quad \text{(1)} \] 4. Vì H nằm trên đoạn thẳng BC, nên ta có: \[ \overrightarrow{BH} = k \overrightarrow{BC} \] \[ H - B = k \overrightarrow{BC} \] \[ (a-2, b+1, c-3) = k(-3, 2, -2) \] \[ a-2 = -3k \quad \text{(2)} \] \[ b+1 = 2k \quad \text{(3)} \] \[ c-3 = -2k \quad \text{(4)} \] 5. Thay (2), (3), (4) vào (1): \[ 3(-3k + 2) - 2(2k - 1) + 2(-2k + 3) = 5 \] \[ -9k + 6 - 4k + 2 - 4k + 6 = 5 \] \[ -17k + 14 = 5 \] \[ -17k = -9 \] \[ k = \frac{9}{17} \] 6. Thay \( k = \frac{9}{17} \) vào (2), (3), (4) để tìm \( a, b, c \): \[ a = -3 \left(\frac{9}{17}\right) + 2 = \frac{-27 + 34}{17} = \frac{7}{17} \] \[ b = 2 \left(\frac{9}{17}\right) - 1 = \frac{18 - 17}{17} = \frac{1}{17} \] \[ c = -2 \left(\frac{9}{17}\right) + 3 = \frac{-18 + 51}{17} = \frac{33}{17} \] 7. Tính \( P = 17(a + b + c) \): \[ a + b + c = \frac{7}{17} + \frac{1}{17} + \frac{33}{17} = \frac{41}{17} \] \[ P = 17 \times \frac{41}{17} = 41 \] Vậy giá trị của \( P \) là \( 41 \).