Giải giúp mình vs

Câu 12: Để tính $\overrightarrow{a} \cdot (2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|^2 \] Vì $|\overrightarrow{a}| = 2|\overrightarrow{b}|$, nên: \[ |\overrightarrow{a}|^2 = (2|\overrightarrow{b}|)^2 = 4|\overrightarrow{b}|^2 \] Bước 2: Tính $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(60^\circ) \] Biết rằng $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, nên: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2|\overrightarrow{b}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \frac{1}{2} = |\overrightarrow{b}|^2 \] Bước 3: Tính $\overrightarrow{a} \cdot (2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$: \[ \overrightarrow{a} \cdot (2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \overrightarrow{a} \cdot 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \] \[ = 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}) + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \] \[ = 2(4|\overrightarrow{b}|^2) + |\overrightarrow{b}|^2 \] \[ = 8|\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 \] \[ = 9|\overrightarrow{b}|^2 \] Vậy $\overrightarrow{a} \cdot (2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = 9|\overrightarrow{b}|^2$. Do đó, đáp án đúng là D. 13. Câu 1: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta có thể phân tích từng lựa chọn như sau: a) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 2$: - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng khi $x$ tăng từ $-\infty$ đến $2$, hàm số giảm dần và khi $x$ tăng từ $2$ đến $\infty$, hàm số tăng dần. Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 2$. - Kết luận: Đúng. b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;1)$: - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng khi $x$ tăng từ $0$ đến $1$, hàm số giảm dần. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;1)$. - Kết luận: Đúng. c) Trên khoảng $(-\infty;2)$, hàm số có giá trị lớn nhất là 1 và có giá trị nhỏ nhất $-2$: - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng khi $x$ tăng từ $-\infty$ đến $2$, hàm số giảm dần từ $+\infty$ xuống $-2$. Do đó, trên khoảng $(-\infty;2)$, giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-2$. Tuy nhiên, không có giá trị lớn nhất vì hàm số tiếp tục giảm không giới hạn khi $x$ tiến tới $-\infty$. - Kết luận: Sai. d) Đồ thị hàm số $x = \frac{2024}{f^2(x) + f(x)}$ có 7 đường tiệm cận: - Để xác định số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $x = \frac{2024}{f^2(x) + f(x)}$, ta cần xem xét các trường hợp sau: - Đường tiệm cận đứng: Các giá trị của $x$ làm mẫu số $f^2(x) + f(x)$ bằng 0. Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng $f(x) = 0$ tại $x = 0$ và $x = 1$. Do đó, $f^2(x) + f(x) = 0$ tại $x = 0$ và $x = 1$. Vì vậy, đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là $x = 0$ và $x = 1$. - Đường tiệm cận ngang: Khi $x$ tiến tới $\pm \infty$, $f(x)$ tiến tới $+\infty$ hoặc $-\infty$. Do đó, $f^2(x) + f(x)$ tiến tới $+\infty$. Vì vậy, $\frac{2024}{f^2(x) + f(x)}$ tiến tới 0. Do đó, đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là $x = 0$. - Tổng cộng, đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận (2 đường tiệm cận đứng và 1 đường tiệm cận ngang). - Kết luận: Sai. Tóm lại, các lựa chọn đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai. Đáp án: a) và b). Câu 2: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt tính toán các thông số thống kê từ dữ liệu đã cho. a) Khoảng biến đổi của mẫu số liệu ghép nhóm Khoảng biến đổi của mẫu số liệu là sự chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của dữ liệu. - Giá trị lớn nhất: 20 phút (khoanh vùng [15;20)) - Giá trị nhỏ nhất: 0 phút (khoanh vùng [0;5)) Khoảng biến đổi: \[ 20 - 0 = 20 \] Vậy, khoảng biến đổi của mẫu số liệu ghép nhóm là 20, không phải 15. b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm Khoảng tứ phân vị là chênh lệch giữa Q3 (tứ phân vị thứ ba) và Q1 (tứ phân vị thứ nhất). Tính Q1 (tứ phân vị thứ nhất): - Tổng số bệnh nhân: 3 + 12 + 15 + 8 = 38 - Vị trí của Q1: $\frac{38}{4} = 9,5$ (vị trí thứ 9,5) - Nhóm chứa Q1: [5;10) (vì 3 < 9,5 < 15) Q1 = 5 + $\frac{(9,5 - 3)}{12} \times 5$ = 5 + $\frac{6,5}{12} \times 5$ ≈ 5 + 2,71 = 7,71 Tính Q3 (tứ phân vị thứ ba): - Vị trí của Q3: $3 \times \frac{38}{4} = 28,5$ (vị trí thứ 28,5) - Nhóm chứa Q3: [10;15) (vì 15 < 28,5 < 33) Q3 = 10 + $\frac{(28,5 - 15)}{15} \times 5$ = 10 + $\frac{13,5}{15} \times 5$ ≈ 10 + 4,5 = 14,5 Khoảng tứ phân vị: \[ Q3 - Q1 = 14,5 - 7,71 = 6,79 \] Vậy, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng 6,79. c) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm Số trung bình (mean) được tính bằng cách lấy tổng thời gian của tất cả các bệnh nhân chia cho số lượng bệnh nhân. - Thời gian trung bình của mỗi nhóm: - Nhóm [0;5): 2,5 phút - Nhóm [5;10): 7,5 phút - Nhóm [10;15): 12,5 phút - Nhóm [15;20): 17,5 phút Tổng thời gian: \[ 3 \times 2,5 + 12 \times 7,5 + 15 \times 12,5 + 8 \times 17,5 = 7,5 + 90 + 187,5 + 140 = 425 \] Số trung bình: \[ \frac{425}{38} \approx 11,18 \] Vậy, số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 11,18, không phải 10,18. d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm Phương sai (variance) được tính bằng cách lấy tổng bình phương các sai số chia cho số lượng bệnh nhân. - Bình phương các sai số: - Nhóm [0;5): $(2,5 - 11,18)^2 \times 3$ - Nhóm [5;10): $(7,5 - 11,18)^2 \times 12$ - Nhóm [10;15): $(12,5 - 11,18)^2 \times 15$ - Nhóm [15;20): $(17,5 - 11,18)^2 \times 8$ Tổng bình phương các sai số: \[ 3 \times (2,5 - 11,18)^2 + 12 \times (7,5 - 11,18)^2 + 15 \times (12,5 - 11,18)^2 + 8 \times (17,5 - 11,18)^2 \] \[ = 3 \times (-8,68)^2 + 12 \times (-3,68)^2 + 15 \times (1,32)^2 + 8 \times (6,32)^2 \] \[ = 3 \times 75,3424 + 12 \times 13,5424 + 15 \times 1,7424 + 8 \times 39,9424 \] \[ = 226,0272 + 162,5088 + 26,136 + 319,5392 \] \[ = 734,2112 \] Phương sai: \[ \frac{734,2112}{38} \approx 19,32 \] Vậy, phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là 19,32, không phải 19,42. Kết luận: Câu đúng là: b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng 6,79. Câu 3: Để giải quyết các phần của bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Phần a) Tính $|\overrightarrow a + \overrightarrow b|$: Ta biết rằng: \[ |\overrightarrow a + \overrightarrow b|^2 = |\overrightarrow a|^2 + |\overrightarrow b|^2 + 2|\overrightarrow a||\overrightarrow b|\cos(\theta) \] Trong đó, $\theta = 120^\circ$, $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, $|\overrightarrow a| = 3$, và $|\overrightarrow b| = 5$. Thay vào công thức: \[ |\overrightarrow a + \overrightarrow b|^2 = 3^2 + 5^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ |\overrightarrow a + \overrightarrow b|^2 = 9 + 25 - 15 \] \[ |\overrightarrow a + \overrightarrow b|^2 = 19 \] Do đó: \[ |\overrightarrow a + \overrightarrow b| = \sqrt{19} \] Phần b) Tính $|\overrightarrow a - 2\overrightarrow b|$: Ta biết rằng: \[ |\overrightarrow a - 2\overrightarrow b|^2 = |\overrightarrow a|^2 + |2\overrightarrow b|^2 - 2|\overrightarrow a||2\overrightarrow b|\cos(\theta) \] Trong đó, $\theta = 120^\circ$, $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, $|\overrightarrow a| = 3$, và $|\overrightarrow b| = 5$. Thay vào công thức: \[ |\overrightarrow a - 2\overrightarrow b|^2 = 3^2 + (2 \cdot 5)^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ |\overrightarrow a - 2\overrightarrow b|^2 = 9 + 100 + 30 \] \[ |\overrightarrow a - 2\overrightarrow b|^2 = 139 \] Do đó: \[ |\overrightarrow a - 2\overrightarrow b| = \sqrt{139} \] Phần c) Tìm giá trị của tham số $m$ để $\overrightarrow u = \overrightarrow a + m\overrightarrow b$ và $\overrightarrow v = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b$ vuông góc với nhau: Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng của chúng bằng 0: \[ (\overrightarrow a + m\overrightarrow b) \cdot (2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b) = 0 \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow a \cdot (2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b) + m\overrightarrow b \cdot (2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b) = 0 \] \[ 2|\overrightarrow a|^2 - 3\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 2m\overrightarrow b \cdot \overrightarrow a - 3m|\overrightarrow b|^2 = 0 \] Biết rằng $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = |\overrightarrow a||\overrightarrow b|\cos(120^\circ) = 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{15}{2}$: \[ 2 \cdot 9 - 3 \left(-\frac{15}{2}\right) + 2m \left(-\frac{15}{2}\right) - 3m \cdot 25 = 0 \] \[ 18 + \frac{45}{2} - 15m - 75m = 0 \] \[ 18 + \frac{45}{2} - 90m = 0 \] \[ \frac{36}{2} + \frac{45}{2} - 90m = 0 \] \[ \frac{81}{2} - 90m = 0 \] \[ 81 - 180m = 0 \] \[ 180m = 81 \] \[ m = \frac{81}{180} = \frac{9}{20} \] Phần d) Tìm giá trị của $k$ sao cho góc giữa $\overrightarrow u = \overrightarrow a + \overrightarrow b$ và $\overrightarrow v = 2k\overrightarrow a - \overrightarrow b$ là $60^\circ$: Ta biết rằng: \[ \cos(60^\circ) = \frac{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v}{|\overrightarrow u||\overrightarrow v|} = \frac{1}{2} \] Tính $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v$: \[ (\overrightarrow a + \overrightarrow b) \cdot (2k\overrightarrow a - \overrightarrow b) = 2k|\overrightarrow a|^2 - \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 2k\overrightarrow b \cdot \overrightarrow a - |\overrightarrow b|^2 \] \[ = 2k \cdot 9 - \left(-\frac{15}{2}\right) + 2k \left(-\frac{15}{2}\right) - 25 \] \[ = 18k + \frac{15}{2} - 15k - 25 \] \[ = 3k + \frac{15}{2} - 25 \] \[ = 3k - \frac{35}{2} \] Tính $|\overrightarrow u|$ và $|\overrightarrow v|$: \[ |\overrightarrow u| = \sqrt{19} \] \[ |\overrightarrow v|^2 = (2k\overrightarrow a - \overrightarrow b) \cdot (2k\overrightarrow a - \overrightarrow b) \] \[ = 4k^2|\overrightarrow a|^2 - 4k\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + |\overrightarrow b|^2 \] \[ = 4k^2 \cdot 9 - 4k \left(-\frac{15}{2}\right) + 25 \] \[ = 36k^2 + 30k + 25 \] \[ |\overrightarrow v| = \sqrt{36k^2 + 30k + 25} \] Thay vào công thức: \[ \frac{3k - \frac{35}{2}}{\sqrt{19} \cdot \sqrt{36k^2 + 30k + 25}} = \frac{1}{2} \] \[ 2(3k - \frac{35}{2}) = \sqrt{19} \cdot \sqrt{36k^2 + 30k + 25} \] \[ 6k - 35 = \sqrt{19(36k^2 + 30k + 25)} \] \[ (6k - 35)^2 = 19(36k^2 + 30k + 25) \] \[ 36k^2 - 420k + 1225 = 684k^2 + 570k + 475 \] \[ 0 = 648k^2 + 990k - 750 \] \[ 0 = 324k^2 + 495k - 375 \] Giải phương trình bậc hai: \[ k = \frac{-495 \pm \sqrt{495^2 + 4 \cdot 324 \cdot 375}}{2 \cdot 324} \] \[ k = \frac{-495 \pm \sqrt{245025 + 486000}}{648} \] \[ k = \frac{-495 \pm \sqrt{731025}}{648} \] \[ k = \frac{-495 \pm 855}{648} \] Lấy nghiệm dương: \[ k = \frac{360}{648} = \frac{5}{9} \] Đáp án: a) $|\overrightarrow a + \overrightarrow b| = \sqrt{19}$ b) $|\overrightarrow a - 2\overrightarrow b| = \sqrt{139}$ c) $m = \frac{9}{20}$ d) $k = \frac{5}{9}$ Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a) Quãng đường di chuyển của máy bay từ A đến B Ta tính quãng đường giữa hai điểm A(800; 500; 7) và B(940; 550; 8) bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ của A và B vào: \[ AB = \sqrt{(940 - 800)^2 + (550 - 500)^2 + (8 - 7)^2} = \sqrt{140^2 + 50^2 + 1^2} = \sqrt{19600 + 2500 + 1} = \sqrt{22101} \approx 149 \text{ km} \] Phần b) Độ cao của máy bay tại vị trí A Độ cao của máy bay tại vị trí A là tọa độ z của điểm A, tức là: \[ z_A = 7 \text{ km} \] Phần c) Độ cao lớn nhất của máy bay sau 10 phút tiếp theo Trước hết, ta cần tìm vận tốc của máy bay. Máy bay di chuyển từ A đến B trong 10 phút, tức là: \[ v = \frac{AB}{t} = \frac{149 \text{ km}}{\frac{10}{60} \text{ giờ}} = 149 \times 6 = 894 \text{ km/giờ} \] Vận tốc dọc theo phương thẳng đứng (phần dọc) của máy bay là: \[ v_z = v \sin 30^\circ = 894 \times \frac{1}{2} = 447 \text{ km/giờ} \] Sau 10 phút tiếp theo, máy bay sẽ tăng thêm độ cao: \[ \Delta z = v_z \times \frac{10}{60} = 447 \times \frac{1}{6} \approx 74,5 \text{ km} \] Do đó, độ cao lớn nhất của máy bay sau 10 phút tiếp theo là: \[ z_{\text{max}} = z_A + \Delta z = 7 + 74,5 = 81,5 \text{ km} \] Phần d) Tọa độ của máy bay sau 15 phút quan sát của Radar Sau 15 phút, máy bay đã di chuyển tổng cộng: \[ t_{\text{total}} = 10 + 15 = 25 \text{ phút} = \frac{25}{60} \text{ giờ} = \frac{5}{12} \text{ giờ} \] Tọa độ mới của máy bay sau 25 phút là: \[ x_{\text{new}} = x_A + v_x \times t_{\text{total}} = 800 + 894 \cos 30^\circ \times \frac{5}{12} = 800 + 894 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{5}{12} \approx 800 + 894 \times 0,866 \times 0,417 \approx 800 + 312,5 = 1112,5 \text{ km} \] \[ y_{\text{new}} = y_A + v_y \times t_{\text{total}} = 500 + 894 \cos 30^\circ \times \frac{5}{12} = 500 + 894 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{5}{12} \approx 500 + 894 \times 0,866 \times 0,417 \approx 500 + 312,5 = 812,5 \text{ km} \] \[ z_{\text{new}} = z_A + v_z \times t_{\text{total}} = 7 + 447 \times \frac{5}{12} \approx 7 + 186,25 = 193,25 \text{ km} \] Vậy tọa độ của máy bay sau 15 phút quan sát của Radar là: \[ (1112,5; 812,5; 193,25) \] Kết luận - Quãng đường di chuyển của máy bay từ A đến B là 149 km. - Độ cao của máy bay tại vị trí A là 7 km. - Sau 10 phút tiếp theo, độ cao lớn nhất của máy bay là 81,5 km. - Tọa độ của máy bay sau 15 phút quan sát của Radar là (1112,5; 812,5; 193,25). Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - (-2); 6 - 3; 2 - 3) = (5; 3; -1) \] 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}$: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A(-2; 3; 3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (5; 3; -1)$ là: \[ \begin{cases} x = -2 + 5t \\ y = 3 + 3t \\ z = 3 - t \end{cases} \] trong đó $t$ là tham số. 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $B$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{BA}$: Vectơ $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = (-5; -3; 1)$. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $B(3; 6; 2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BA} = (-5; -3; 1)$ là: \[ \begin{cases} x = 3 - 5s \\ y = 6 - 3s \\ z = 2 + s \end{cases} \] trong đó $s$ là tham số. Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm $A$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}$ là: \[ \begin{cases} x = -2 + 5t \\ y = 3 + 3t \\ z = 3 - t \end{cases} \] Phương trình đường thẳng đi qua điểm $B$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{BA}$ là: \[ \begin{cases} x = 3 - 5s \\ y = 6 - 3s \\ z = 2 + s \end{cases} \]