Giải giúp em

Câu 1. a) Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = -3x^2 + 3 \] b) Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số: - Để xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến, ta cần tìm các điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = -3x^2 + 3 = 0 \] \[ -3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x = \pm 1 \] - Kiểm tra dấu của đạo hàm trong các khoảng: - Khi \( x < -1 \), chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = -3(-2)^2 + 3 = -3(4) + 3 = -12 + 3 = -9 < 0 \] Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-\infty, -1) \). - Khi \( -1 < x < 1 \), chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = -3(0)^2 + 3 = 3 > 0 \] Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \( (-1, 1) \). - Khi \( x > 1 \), chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = -3(2)^2 + 3 = -3(4) + 3 = -12 + 3 = -9 < 0 \] Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \( (1, +\infty) \). c) Xác định các điểm cực trị của hàm số: - Ta đã tìm được các điểm \( x = -1 \) và \( x = 1 \) là các điểm cực trị. - Kiểm tra dấu của đạo hàm ở hai bên các điểm này để xác định loại cực trị: - Tại \( x = -1 \): \[ f'(-1) = 0 \] - Trước \( x = -1 \), đạo hàm âm (\( f'(x) < 0 \)). - Sau \( x = -1 \), đạo hàm dương (\( f'(x) > 0 \)). Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại \( x = -1 \). - Tại \( x = 1 \): \[ f'(1) = 0 \] - Trước \( x = 1 \), đạo hàm dương (\( f'(x) > 0 \)). - Sau \( x = 1 \), đạo hàm âm (\( f'(x) < 0 \)). Do đó, hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \). d) Vẽ đồ thị của hàm số: - Đồ thị của hàm số \( f(x) = -x^3 + 3x \) sẽ có các đặc điểm sau: - Cực tiểu tại \( x = -1 \) với giá trị \( f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) = 1 - 3 = -2 \). - Cực đại tại \( x = 1 \) với giá trị \( f(1) = -(1)^3 + 3(1) = -1 + 3 = 2 \). - Đồng biến trên khoảng \( (-1, 1) \). - Nghịch biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (1, +\infty) \). Đồ thị của hàm số sẽ có dạng như sau: markdown | | /\ | / \ | / \ | / \ | / \ | / \ | / \ | / \ ---|------------------|------------------|------------------|--- | | | | | -1 1 | |------------------------------------------------------ Đáp số: a) \( f'(x) = -3x^2 + 3 \) b) Đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (1, +\infty) \); Nghịch biến trên khoảng \( (-1, 1) \) c) Cực tiểu tại \( x = -1 \) và đạt cực đại tại \( x = 1 \) d) Đồ thị của hàm số như trên. Câu 2. a) Xét khoảng $(-\infty;-1)$: - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng khi $x$ tăng từ $-\infty$ đến $-1$, giá trị của $y=f(x)$ cũng tăng dần. - Do đó, hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty;-1)$. - Kết luận: Đúng. b) Xét đoạn $[0;6]$: - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng trên đoạn $[0;6]$, giá trị của $y=f(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm $x=1$. - Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[0;6]$ là $f(1)$. - Kết luận: Đúng. c) Xét tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang: - Đường tiệm cận đứng: Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng khi $x$ tiến đến $-1$, giá trị của $y=f(x)$ tiến đến vô cùng. Do đó, hàm số có đường tiệm cận đứng là $x=-1$. - Đường tiệm cận ngang: Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng khi $x$ tiến đến $+\infty$, giá trị của $y=f(x)$ tiến đến $y=2$. Do đó, hàm số có đường tiệm cận ngang là $y=2$. - Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1 + 1 = 2$. - Kết luận: Đúng. d) Xét phương trình $f'(2x+1)=0$: - Ta cần tìm giá trị của $x$ sao cho $f'(2x+1)=0$. - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng $f'(x)=0$ tại điểm $x=1$. - Do đó, ta cần giải phương trình $2x+1=1$. - Giải phương trình $2x+1=1$, ta được $2x=0$ suy ra $x=0$. - Kết luận: Sai. Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.