cứu hộ cứu nạn

Câu 1. a) Ta có $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-1}{x+1}=1$. Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y=1$. b) Đạo hàm của hàm số là $y'=\frac{(x-1)'(x+1)-(x-1)(x+1)'}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$. c) Ta có $f(-x)=\frac{-x-1}{-x+1}=\frac{x+1}{x-1}=-\frac{x-1}{x+1}=-f(x)$. Vậy hàm số đã cho là hàm lẻ nên đồ thị của nó có tâm đối xứng là gốc tọa độ O(0;0). d) Gọi M(a;b) thuộc đồ thị hàm số thì ta có $b=\frac{a-1}{a+1}$. Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $y=1$ là $d_1=|b-1|=|\frac{a-1}{a+1}-1|=|\frac{-2}{a+1}|$. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $x=-1$ là $d_2=|a+1|$. Vậy tích hai khoảng cách là $d_1.d_2=|\frac{-2}{a+1}|.|a+1|=2$. Chọn đáp án D Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một. a) Phương trình đi qua hai điểm cực trị của hàm số là $y=2x+1.$ Đầu tiên, ta tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{(2x + 1)(x + 3) - (x^2 + x - 2)}{(x + 3)^2} = \frac{2x^2 + 6x + x + 3 - x^2 - x + 2}{(x + 3)^2} = \frac{x^2 + 6x + 5}{(x + 3)^2} \] Đặt $y' = 0$, ta có: \[ x^2 + 6x + 5 = 0 \] \[ (x + 1)(x + 5) = 0 \] \[ x = -1 \text{ hoặc } x = -5 \] Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: \[ y(-1) = \frac{(-1)^2 + (-1) - 2}{-1 + 3} = \frac{1 - 1 - 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] \[ y(-5) = \frac{(-5)^2 + (-5) - 2}{-5 + 3} = \frac{25 - 5 - 2}{-2} = \frac{18}{-2} = -9 \] Vậy hai điểm cực trị là $(-1, -1)$ và $(-5, -9)$. Ta kiểm tra xem phương trình $y = 2x + 1$ có đi qua hai điểm này không: \[ -1 = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1 \] (đúng) \[ -9 = 2(-5) + 1 = -10 + 1 = -9 \] (đúng) Vậy phát biểu a) đúng. b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x=3.$ Đường tiệm cận đứng của hàm số là giá trị của biến độc lập làm mẫu số bằng 0. Trong trường hợp này, mẫu số là $x + 3$, nên đường tiệm cận đứng là $x = -3$. Vậy phát biểu b) sai. c) Đường tiệm cận xiên cắt các trục tọa độ tại hai điểm A và B. Diện tích tam giác OAB bằng 4. Để tìm đường tiệm cận xiên, ta chia tử số cho mẫu số: \[ y = \frac{x^2 + x - 2}{x + 3} = x - 2 + \frac{4}{x + 3} \] Khi $x$ tiến đến vô cùng, $\frac{4}{x + 3}$ tiến đến 0, vậy đường tiệm cận xiên là $y = x - 2$. Đường tiệm cận xiên cắt trục hoành tại điểm $A(2, 0)$ và cắt trục tung tại điểm $B(0, -2)$. Diện tích tam giác OAB là: \[ S_{OAB} = \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 \] Vậy phát biểu c) sai. d) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình $y=x-2$. Như đã tính ở trên, đường tiệm cận xiên là $y = x - 2$. Vậy phát biểu d) đúng. Kết luận: Các phát biểu đúng là a) và d). Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phát biểu và đưa ra lập luận cho mỗi phát biểu. a) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc thuộc $[3;6)$ Tứ phân vị thứ nhất (Q1) là giá trị chia dãy số thành phần dưới 25% và phần trên 75%. Ta tính tổng số học sinh: \[ 3 + 10 + 14 + 23 = 40 \] Số học sinh tương ứng với Q1 là: \[ \frac{40}{4} = 10 \] Nhìn vào bảng, ta thấy: - Nhóm [0;3) có 3 học sinh. - Nhóm [3;6) có 10 học sinh. Do đó, Q1 nằm trong khoảng [3;6). Phát biểu đúng. b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 12 (giờ). Khoảng biến thiên là sự khác biệt giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số: \[ 12 - 0 = 12 \] Phát biểu đúng. c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 7,9236. Phương sai được tính theo công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] Trước tiên, ta tính trung bình cộng (\(\bar{x}\)): \[ \bar{x} = \frac{(3 \times 1.5) + (10 \times 4.5) + (14 \times 7.5) + (23 \times 10.5)}{40} \] \[ \bar{x} = \frac{4.5 + 45 + 105 + 241.5}{40} \] \[ \bar{x} = \frac{396}{40} = 9.9 \] Tiếp theo, ta tính phương sai: \[ s^2 = \frac{3(1.5 - 9.9)^2 + 10(4.5 - 9.9)^2 + 14(7.5 - 9.9)^2 + 23(10.5 - 9.9)^2}{40} \] \[ s^2 = \frac{3(-8.4)^2 + 10(-5.4)^2 + 14(-2.4)^2 + 23(0.6)^2}{40} \] \[ s^2 = \frac{3(70.56) + 10(29.16) + 14(5.76) + 23(0.36)}{40} \] \[ s^2 = \frac{211.68 + 291.6 + 80.64 + 8.28}{40} \] \[ s^2 = \frac{592.2}{40} = 14.805 \] Phương sai không phải là 7,9236. Phát biểu sai. d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $\frac{681}{460}$. Khoảng tứ phân vị (IQR) là sự khác biệt giữa Q3 và Q1. Ta đã biết Q1 thuộc [3;6). Bây giờ, ta tính Q3: \[ \frac{3 \times 40}{4} = 30 \] Nhìn vào bảng, ta thấy: - Nhóm [0;3) có 3 học sinh. - Nhóm [3;6) có 10 học sinh. - Nhóm [6;9) có 14 học sinh. - Nhóm [9;12) có 23 học sinh. Q3 nằm trong khoảng [9;12). Ta tính giá trị trung bình của Q3: \[ Q3 = 9 + \frac{(30 - 27)}{23} \times 3 = 9 + \frac{3}{23} \times 3 = 9 + \frac{9}{23} = \frac{216}{23} \] Khoảng tứ phân vị: \[ IQR = Q3 - Q1 = \frac{216}{23} - 4.5 = \frac{216}{23} - \frac{103.5}{23} = \frac{112.5}{23} = \frac{681}{460} \] Phát biểu đúng. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Câu 4. a) Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (-2 - 1, 5 + 1, 3 - 0) = (-3, 6, 3) \] \[ \overrightarrow{DC} = (3 - 6, 4 + 2, 9 - 6) = (-3, 6, 3) \] Vì \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), nên tứ giác ABCD là hình bình hành. b) Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (-2 - 1, 5 + 1, 3 - 0) = (-3, 6, 3) \] c) Điểm \(M(a, b, c)\) thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(MA = 2MB\). Ta có: \[ \overrightarrow{AM} = k \cdot \overrightarrow{AB} \] với \(k = \frac{1}{3}\). Ta tính: \[ \overrightarrow{AB} = (-3, 6, 3) \] \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3} \cdot (-3, 6, 3) = (-1, 2, 1) \] Tọa độ của \(M\) là: \[ M = A + \overrightarrow{AM} = (1, -1, 0) + (-1, 2, 1) = (0, 1, 1) \] Vậy \(a + b + c = 0 + 1 + 1 = 2\). d) Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là: \[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right) \] \[ G = \left( \frac{1 - 2 + 3}{3}, \frac{-1 + 5 + 4}{3}, \frac{0 + 3 + 9}{3} \right) = \left( \frac{2}{3}, \frac{8}{3}, 4 \right) \] Đáp án đúng là: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai Đáp án: a) Đúng