trả lời đúng sai

Câu 1: a) Ta thấy điểm $A(t;-1-t;2+2t)$ có tọa độ thỏa mãn phương trình tham số của đường thẳng $d$. Do đó, điểm A thuộc đường thẳng d. b) Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $x + y - z + 3 = 0$. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n}(1;1;-1)$. c) Thay tọa độ của điểm M vào phương trình tham số của đường thẳng d: - $x = 3$ - $y = 1$ - $z = 9$ Ta thấy rằng $3 = t$, $1 = -1 - t$, và $9 = 2 + 2t$. Giải hệ phương trình này ta có: - $t = 3$ - $1 = -1 - 3$ (sai) - $9 = 2 + 2 \cdot 3$ (đúng) Do đó, điểm M không thuộc đường thẳng d. d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua M, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng $(\alpha)$. Phương trình của đường thẳng $\Delta$ là $\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-4}{5}$. Để chứng minh rằng đường thẳng $\Delta$ song song với mặt phẳng $(\alpha)$, ta cần kiểm tra xem vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ có vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ hay không. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u}(2;3;5)$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n}(1;1;-1)$. Tích vô hướng của hai vectơ này là: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 5 \cdot (-1) = 2 + 3 - 5 = 0 \] Vì tích vô hướng bằng 0, nên vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$. Do đó, đường thẳng $\Delta$ song song với mặt phẳng $(\alpha)$. Câu 2: Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Nhà máy A bán cho nhà máy B khoảng 70,7 tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất. Lợi nhuận \( H(x) \) khi nhà máy A bán \( x \) tấn sản phẩm cho nhà máy B được tính bằng: \[ H(x) = P(x) \cdot x - C(x) \] Trong đó: - \( P(x) = 45 - 0,001x^2 \) là giá bán mỗi tấn sản phẩm. - \( C(x) = 100 + 30x \) là chi phí sản xuất \( x \) tấn sản phẩm. Do đó: \[ H(x) = (45 - 0,001x^2) \cdot x - (100 + 30x) \] \[ H(x) = 45x - 0,001x^3 - 100 - 30x \] \[ H(x) = -0,001x^3 + 15x - 100 \] Để tìm giá trị \( x \) làm cho \( H(x) \) đạt giá trị lớn nhất, ta tính đạo hàm của \( H(x) \): \[ H'(x) = -0,003x^2 + 15 \] Đặt \( H'(x) = 0 \): \[ -0,003x^2 + 15 = 0 \] \[ 0,003x^2 = 15 \] \[ x^2 = \frac{15}{0,003} \] \[ x^2 = 5000 \] \[ x = \sqrt{5000} \approx 70,7 \] Vậy, nhà máy A bán cho nhà máy B khoảng 70,7 tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất. b) Số tiền nhà máy A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm cho nhà máy B là 600 triệu đồng. Giá bán mỗi tấn sản phẩm khi bán 10 tấn: \[ P(10) = 45 - 0,001 \cdot 10^2 = 45 - 0,001 \cdot 100 = 45 - 0,1 = 44,9 \text{ (triệu đồng)} \] Số tiền nhà máy A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm: \[ 44,9 \times 10 = 449 \text{ (triệu đồng)} \] Vậy, số tiền nhà máy A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm cho nhà máy B là 449 triệu đồng, không phải 600 triệu đồng. c) Lợi nhuận mà nhà máy A thu được khi bán \( x \) (tấn) sản phẩm \( (0 \leq x \leq 100) \) cho nhà máy B là \( H(x) = -0,001x^3 + 15x - 100 \). Đã chứng minh ở phần a), công thức này đúng. d) Chi phí để nhà máy A sản xuất 10 tấn sản phẩm trong một tháng là 400 triệu đồng. Chi phí sản xuất 10 tấn sản phẩm: \[ C(10) = 100 + 30 \cdot 10 = 100 + 300 = 400 \text{ (triệu đồng)} \] Vậy, chi phí để nhà máy A sản xuất 10 tấn sản phẩm trong một tháng là 400 triệu đồng. Kết luận: - a) Đúng. - b) Sai, số tiền nhà máy A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm cho nhà máy B là 449 triệu đồng. - c) Đúng. - d) Đúng. Câu 3: Để giải quyết yêu cầu của bạn, chúng ta sẽ thực hiện từng phần của câu hỏi theo thứ tự. a) Xác định dấu của đạo hàm Hàm số đã cho là: \[ y = \frac{x^2 + 4}{x} \] Đạo hàm của hàm số này là: \[ y' = 1 - \frac{4}{x^2} \] Ta cần xác định dấu của đạo hàm \( y' \): - \( y' = 1 - \frac{4}{x^2} \) - \( y' = \frac{x^2 - 4}{x^2} \) - \( y' = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x^2} \) Phân tích dấu của \( y' \): - \( y' < 0 \) khi \( (x - 2)(x + 2) < 0 \) và \( x \neq 0 \) - Điều này xảy ra khi \( -2 < x < 0 \) hoặc \( 0 < x < 2 \) Do đó, đạo hàm của hàm số nhận giá trị âm trên các khoảng \( (-2; 0) \cup (0; 2) \). - \( y' > 0 \) khi \( (x - 2)(x + 2) > 0 \) và \( x \neq 0 \) - Điều này xảy ra khi \( x < -2 \) hoặc \( x > 2 \) Do đó, đạo hàm của hàm số nhận giá trị dương trên các khoảng \( (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \). b) Đạo hàm của hàm số Đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^2 + 4}{x} \) đã được tính ở phần trên: \[ y' = 1 - \frac{4}{x^2} \] c) Bảng biến thiên của hàm số Bảng biến thiên của hàm số \( y = \frac{x^2 + 4}{x} \): | \( x \) | \( (-\infty; -2) \) | \( -2 \) | \( (-2; 0) \) | \( 0 \) | \( (0; 2) \) | \( 2 \) | \( (2; +\infty) \) | |---------|---------------------|----------|---------------|--------|--------------|--------|--------------------| | \( y' \)| \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | \( \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | | \( y \) | \( \searrow \) | \( -4 \) | \( \nearrow \)| \( \) | \( \searrow \)| \( 4 \)| \( \nearrow \) | Từ bảng biến thiên, ta thấy: - Hàm số đạt giá trị cực đại tại \( x = -2 \) với giá trị \( y = -4 \). - Hàm số đạt giá trị cực tiểu tại \( x = 2 \) với giá trị \( y = 4 \). Kết luận - Đạo hàm của hàm số nhận giá trị âm trên các khoảng \( (-2; 0) \cup (0; 2) \) và nhận giá trị dương trên các khoảng \( (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \). - Đạo hàm của hàm số là \( y' = 1 - \frac{4}{x^2} \). - Bảng biến thiên của hàm số đã cho như trên.