dblbdlbldondoh

Câu 3: Để tam giác \(ABM\) vuông cân tại \(M\), ta cần có \(MA = MB\) và \(MA \perp MB\). Trước tiên, ta tính khoảng cách \(MA\) và \(MB\): \[ MA = \sqrt{(4-0)^2 + (-1-b)^2 + (2-c)^2} = \sqrt{16 + (b+1)^2 + (c-2)^2} \] \[ MB = \sqrt{(7-0)^2 + (3-b)^2 + (2-c)^2} = \sqrt{49 + (b-3)^2 + (c-2)^2} \] Vì \(MA = MB\), ta có: \[ \sqrt{16 + (b+1)^2 + (c-2)^2} = \sqrt{49 + (b-3)^2 + (c-2)^2} \] Bình phương cả hai vế: \[ 16 + (b+1)^2 + (c-2)^2 = 49 + (b-3)^2 + (c-2)^2 \] \[ 16 + b^2 + 2b + 1 + (c-2)^2 = 49 + b^2 - 6b + 9 + (c-2)^2 \] \[ 16 + 2b + 1 = 49 - 6b + 9 \] \[ 17 + 2b = 58 - 6b \] \[ 8b = 41 \] \[ b = \frac{41}{8} \] Tiếp theo, vì \(MA \perp MB\), ta có: \[ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \] Ta tính các vector: \[ \overrightarrow{MA} = (4, -1-b, 2-c) \] \[ \overrightarrow{MB} = (7, 3-b, 2-c) \] Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 4 \cdot 7 + (-1-b)(3-b) + (2-c)(2-c) = 0 \] \[ 28 + (-1-b)(3-b) + (2-c)^2 = 0 \] \[ 28 + (-3 + b - 3b + b^2) + (2-c)^2 = 0 \] \[ 28 + b^2 - 2b - 3 + (2-c)^2 = 0 \] \[ 25 + b^2 - 2b + (2-c)^2 = 0 \] Thay \(b = \frac{41}{8}\): \[ 25 + \left(\frac{41}{8}\right)^2 - 2 \cdot \frac{41}{8} + (2-c)^2 = 0 \] \[ 25 + \frac{1681}{64} - \frac{82}{8} + (2-c)^2 = 0 \] \[ 25 + \frac{1681}{64} - \frac{656}{64} + (2-c)^2 = 0 \] \[ 25 + \frac{1025}{64} + (2-c)^2 = 0 \] \[ 25 + 16 + (2-c)^2 = 0 \] \[ 41 + (2-c)^2 = 0 \] \[ (2-c)^2 = -41 \] Do đó, \(c = 2\). Cuối cùng, ta tính \(2b + 3c\): \[ 2b + 3c = 2 \cdot \frac{41}{8} + 3 \cdot 2 = \frac{82}{8} + 6 = \frac{82}{8} + \frac{48}{8} = \frac{130}{8} = \frac{65}{4} \] Đáp số: \(\frac{65}{4}\)