Huup rmmfyinv

Câu 15. Khoảng tứ phân vị $\triangle Q$ của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng cách lấy phân vị thứ ba ($Q_3$) trừ đi phân vị thứ nhất ($Q_1$). Trong đề bài, ta đã biết: - $Q_1 = 51$ - $Q_2 = 58$ - $Q_3 = 70$ Khoảng tứ phân vị $\triangle Q$ được tính như sau: \[ \triangle Q = Q_3 - Q_1 = 70 - 51 = 19 \] Vậy khoảng tứ phân vị $\triangle Q$ của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng 19. Đáp án đúng là: C. 19. Câu 16. Độ lệch chuẩn của một bảng thống kê được tính bằng cách lấy căn bậc hai của phương sai. Phương sai của bảng thống kê là 0,573. Do đó, độ lệch chuẩn của bảng thống kê đó là: \[ \sqrt{0,573} \approx 0,757 \] Vậy đáp án đúng là B. 0,757. Câu 17. Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu. 2. Tính phương sai của mẫu số liệu. 3. Tính độ lệch chuẩn từ phương sai. Bước 1: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu Trung bình cộng \( \bar{x} \) được tính bằng cách lấy tổng của tất cả các giá trị nhân với tần suất tương ứng rồi chia cho tổng số lượng mẫu. \[ \bar{x} = \frac{(4 \times 6) + (6 \times 7) + (8 \times 6) + (10 \times 6) + (12 \times 5)}{6 + 7 + 6 + 6 + 5} \] \[ = \frac{(24) + (42) + (48) + (60) + (60)}{30} \] \[ = \frac{234}{30} = 7,8 \] Bước 2: Tính phương sai của mẫu số liệu Phương sai \( s^2 \) được tính bằng cách lấy tổng của các bình phương khoảng cách giữa mỗi giá trị và trung bình cộng, nhân với tần suất tương ứng, rồi chia cho tổng số lượng mẫu. \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] \[ = \frac{(6 \times (4 - 7,8)^2) + (7 \times (6 - 7,8)^2) + (6 \times (8 - 7,8)^2) + (6 \times (10 - 7,8)^2) + (5 \times (12 - 7,8)^2)}{30} \] \[ = \frac{(6 \times (-3,8)^2) + (7 \times (-1,8)^2) + (6 \times 0,2^2) + (6 \times 2,2^2) + (5 \times 4,2^2)}{30} \] \[ = \frac{(6 \times 14,44) + (7 \times 3,24) + (6 \times 0,04) + (6 \times 4,84) + (5 \times 17,64)}{30} \] \[ = \frac{(86,64) + (22,68) + (0,24) + (29,04) + (88,2)}{30} \] \[ = \frac{226,8}{30} = 7,56 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn từ phương sai Độ lệch chuẩn \( s \) được tính bằng cách lấy căn bậc hai của phương sai. \[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{7,56} \approx 2,75 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là 2,75 (làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp án đúng là: D. 2,75. Câu 18. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số, ta dựa vào bảng biến thiên của hàm số. Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng: - Trên khoảng $(-\infty; -3)$, hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(-3; 0)$, hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(0; 3)$, hàm số nghịch biến. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(-3; 0)$. Vậy đáp án đúng là: B. $(-3; 0)$. Câu 19. Để tìm số đo của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u} = (2, -1, 1)$ và $\overrightarrow{v} = (-3, 4, -5)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tích vô hướng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \times (-3) + (-1) \times 4 + 1 \times (-5) = -6 - 4 - 5 = -15 \] 2. Tính độ dài của mỗi vectơ: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] 3. Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} = \frac{-15}{\sqrt{6} \times 5\sqrt{2}} = \frac{-15}{5\sqrt{12}} = \frac{-15}{10\sqrt{3}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = \frac{-\sqrt{3}}{2} \] 4. Tìm góc $\theta$ từ giá trị cosin: \[ \cos(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Góc có giá trị cosin bằng $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ là $150^\circ$. Vậy số đo của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là $150^\circ$. Đáp án đúng là: C. $150^\circ$. Câu 20. Để tìm độ dài của vectơ $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính $\overrightarrow{c}$ bằng cách trừ 2 lần vectơ $\overrightarrow{b}$ từ vectơ $\overrightarrow{a}$. \[ \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} \] \[ \overrightarrow{c} = (3, -1, 2) - 2(1, 4, -2) \] \[ \overrightarrow{c} = (3, -1, 2) - (2, 8, -4) \] \[ \overrightarrow{c} = (3 - 2, -1 - 8, 2 + 4) \] \[ \overrightarrow{c} = (1, -9, 6) \] Bước 2: Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{c}$. \[ |\overrightarrow{c}| = \sqrt{1^2 + (-9)^2 + 6^2} \] \[ |\overrightarrow{c}| = \sqrt{1 + 81 + 36} \] \[ |\overrightarrow{c}| = \sqrt{118} \] Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{c}$ là $\sqrt{118}$. Đáp án đúng là: D. $\sqrt{118}$ Câu 1: Đầu tiên, ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng PQ, đại lượng này sẽ giúp ta xác định hướng và vận tốc của tàu ngầm. Vectơ $\overrightarrow{PQ} = (-250 - (-150); -250 - (-150); -150 - (-50)) = (-100; -100; -100)$ Vì tàu ngầm di chuyển trong 20 phút từ P đến Q, nên trong 20 phút tiếp theo, tàu ngầm sẽ tiếp tục di chuyển với cùng vectơ chỉ phương này. Tọa độ của điểm R sau 20 phút nữa sẽ là: \[ R = Q + \overrightarrow{PQ} = (-250; -250; -150) + (-100; -100; -100) = (-350; -350; -250) \] Do đó, tọa độ của điểm R là $(-350; -350; -250)$. Tiếp theo, ta tính tổng $S = x - y + z$: \[ S = -350 - (-350) + (-250) = -350 + 350 - 250 = -250 \] Vậy, $S = -250$. Câu 2: Để ba điểm \(A(1;0;3)\), \(B(-1;1;-2)\), và \(M(x_0; y_0; z_0)\) thẳng hàng, vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và vectơ \(\overrightarrow{AM}\) phải cùng phương. Ta tính vectơ \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 1; 1 - 0; -2 - 3) = (-2; 1; -5) \] Ta tính vectơ \(\overrightarrow{AM}\): \[ \overrightarrow{AM} = M - A = (x_0 - 1; y_0 - 0; z_0 - 3) = (x_0 - 1; y_0; z_0 - 3) \] Để hai vectơ này cùng phương, ta có: \[ \frac{x_0 - 1}{-2} = \frac{y_0}{1} = \frac{z_0 - 3}{-5} \] Gọi tỷ số này là \(k\), ta có: \[ \frac{x_0 - 1}{-2} = k \implies x_0 - 1 = -2k \implies x_0 = -2k + 1 \] \[ \frac{y_0}{1} = k \implies y_0 = k \] \[ \frac{z_0 - 3}{-5} = k \implies z_0 - 3 = -5k \implies z_0 = -5k + 3 \] Vì điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(Oxy\), tọa độ \(z_0\) của nó phải bằng 0: \[ z_0 = -5k + 3 = 0 \implies -5k + 3 = 0 \implies k = \frac{3}{5} \] Thay \(k = \frac{3}{5}\) vào các biểu thức của \(x_0\) và \(y_0\): \[ x_0 = -2 \left(\frac{3}{5}\right) + 1 = -\frac{6}{5} + 1 = -\frac{6}{5} + \frac{5}{5} = -\frac{1}{5} \] \[ y_0 = \frac{3}{5} \] Tính tổng \(x_0 + y_0 + z_0\): \[ x_0 + y_0 + z_0 = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5} + 0 = \frac{2}{5} \] Vậy \(x_0 + y_0 + z_0 = \frac{2}{5}\). Đáp số: \(\frac{2}{5}\). Câu 3. Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng số lượng dữ liệu: Tổng số lượng dữ liệu là: \[ n = 10 + 40 + 150 + 175 + 75 + 15 + 10 = 475 \] 2. Xác định các vị trí của Q1 và Q3: - Vị trí của Q1 (tứ phân vị thứ nhất) là: \[ \frac{n}{4} = \frac{475}{4} = 118.75 \approx 119 \] - Vị trí của Q3 (tứ phân vị thứ ba) là: \[ \frac{3n}{4} = \frac{3 \times 475}{4} = 356.25 \approx 356 \] 3. Xác định các khoảng chứa Q1 và Q3: - Dữ liệu từ 10 đến 40 nằm trong khoảng [45;50) - Dữ liệu từ 41 đến 190 nằm trong khoảng [50;55) - Dữ liệu từ 191 đến 340 nằm trong khoảng [55;60) - Dữ liệu từ 341 đến 515 nằm trong khoảng [60;65) Do đó: - Q1 nằm trong khoảng [50;55) - Q3 nằm trong khoảng [60;65) 4. Tính giá trị của Q1 và Q3: - Q1 nằm ở vị trí 119 trong khoảng [50;55). Ta tính: \[ Q1 = 50 + \left( \frac{119 - 40}{150} \right) \times 5 = 50 + \left( \frac{79}{150} \right) \times 5 = 50 + 2.6333 \approx 52.63 \] - Q3 nằm ở vị trí 356 trong khoảng [60;65). Ta tính: \[ Q3 = 60 + \left( \frac{356 - 340}{175} \right) \times 5 = 60 + \left( \frac{16}{175} \right) \times 5 = 60 + 0.4571 \approx 60.46 \] 5. Kết luận: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: \[ [Q1, Q3] = [52.63, 60.46] \] Đáp số: [52.63, 60.46]