giúp mình với

Câu 2: Giải bất phương trình: $9^{x-1} - 36 \cdot 3^x + 3 \leq 0$ Đặt $y = 3^x$, ta có: \[ 9^{x-1} = (3^2)^{x-1} = 3^{2x-2} = \frac{(3^x)^2}{9} = \frac{y^2}{9} \] Bất phương trình trở thành: \[ \frac{y^2}{9} - 36y + 3 \leq 0 \] Nhân cả hai vế với 9: \[ y^2 - 324y + 27 \leq 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ y^2 - 324y + 27 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm: \[ y = \frac{324 \pm \sqrt{324^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1} = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 108}}{2} = \frac{324 \pm \sqrt{104868}}{2} = \frac{324 \pm 324}{2} \] Có hai nghiệm: \[ y_1 = \frac{324 + 324}{2} = 324 \] \[ y_2 = \frac{324 - 324}{2} = 0 \] Do đó, bất phương trình: \[ y^2 - 324y + 27 \leq 0 \] có nghiệm trong khoảng: \[ 0 \leq y \leq 324 \] Vì $y = 3^x$, ta có: \[ 0 \leq 3^x \leq 324 \] Vậy: \[ 3^x \leq 324 \] \[ x \leq \log_3(324) \] Câu 3: Tính giá trị lớn nhất của diện tích cửa sổ Chiều dài thanh thép là 4 m, tức là chu vi của khung viền cửa sổ là 4 m. Gọi chiều dài của hình chữ nhật là $l$ và chiều rộng là $w$. Nửa đường kính của nửa hình tròn là $r$. Chu vi của khung viền cửa sổ bao gồm: - Hai lần chiều dài của hình chữ nhật: $2l$ - Hai lần chiều rộng của hình chữ nhật: $2w$ - Bán kính của nửa hình tròn: $\pi r$ Vậy: \[ 2l + 2w + \pi r = 4 \] Diện tích tổng của cửa sổ bao gồm: - Diện tích hình chữ nhật: $A_{\text{rect}} = l \cdot w$ - Diện tích nửa hình tròn: $A_{\text{semi-circle}} = \frac{1}{2} \pi r^2$ Diện tích tổng: \[ A = l \cdot w + \frac{1}{2} \pi r^2 \] Ta cần tối đa hóa diện tích này. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp Lagrange để tối ưu hóa hàm mục tiêu dưới ràng buộc. Ràng buộc: \[ g(l, w, r) = 2l + 2w + \pi r - 4 = 0 \] Hàm mục tiêu: \[ f(l, w, r) = l \cdot w + \frac{1}{2} \pi r^2 \] Áp dụng phương pháp Lagrange: \[ \nabla f = \lambda \nabla g \] Tính đạo hàm: \[ \nabla f = \left( w, l, \pi r \right) \] \[ \nabla g = \left( 2, 2, \pi \right) \] Phương trình Lagrange: \[ w = 2\lambda \] \[ l = 2\lambda \] \[ \pi r = \pi \lambda \] Từ đây, ta có: \[ w = l \] \[ r = \lambda \] Thay vào ràng buộc: \[ 2l + 2l + \pi l = 4 \] \[ 4l + \pi l = 4 \] \[ l(4 + \pi) = 4 \] \[ l = \frac{4}{4 + \pi} \] Vậy: \[ w = \frac{4}{4 + \pi} \] \[ r = \frac{4}{4 + \pi} \] Diện tích lớn nhất: \[ A = \left( \frac{4}{4 + \pi} \right)^2 + \frac{1}{2} \pi \left( \frac{4}{4 + \pi} \right)^2 \] \[ A = \frac{16}{(4 + \pi)^2} + \frac{1}{2} \pi \frac{16}{(4 + \pi)^2} \] \[ A = \frac{16}{(4 + \pi)^2} \left( 1 + \frac{\pi}{2} \right) \] \[ A = \frac{16}{(4 + \pi)^2} \left( \frac{2 + \pi}{2} \right) \] \[ A = \frac{8(2 + \pi)}{(4 + \pi)^2} \] Vậy giá trị lớn nhất của diện tích cửa sổ là: \[ \boxed{\frac{8(2 + \pi)}{(4 + \pi)^2}} \]