Giúp tui nha

Để giải quyết từng phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Phần b) Đường tiệm cận xiên của (C) có phương trình là \( y = x + 3 \). Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) có phương trình \( y = ax + b \), trong đó: \[ a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} \] \[ b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - ax] \] Giả sử \( f(x) = x + 3 + \frac{g(x)}{x} \), trong đó \( g(x) \) là một hàm số có giới hạn hữu hạn khi \( x \to \infty \). Ta có: \[ a = \lim_{x \to \infty} \frac{x + 3 + \frac{g(x)}{x}}{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x} + \frac{g(x)}{x^2}\right) = 1 \] \[ b = \lim_{x \to \infty} \left[x + 3 + \frac{g(x)}{x} - x\right] = \lim_{x \to \infty} \left(3 + \frac{g(x)}{x}\right) = 3 \] Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị \( y = f(x) \) là \( y = x + 3 \). Phần c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([2; 4]\) bằng \(\frac{13}{2}\). Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([2; 4]\), ta cần tính đạo hàm của \( f(x) \) và tìm các điểm cực trị trong khoảng này. Giả sử \( f(x) = x^2 + 2x + 3 \): \[ f'(x) = 2x + 2 \] Tìm các điểm cực trị: \[ f'(x) = 0 \Rightarrow 2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1 \] Do \( x = -1 \) nằm ngoài đoạn \([2; 4]\), ta chỉ cần kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại các biên của đoạn: \[ f(2) = 2^2 + 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 4 + 3 = 11 \] \[ f(4) = 4^2 + 2 \cdot 4 + 3 = 16 + 8 + 3 = 27 \] Như vậy, giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([2; 4]\) là \( 11 \), không phải \(\frac{13}{2}\). Phần d) Có 3 số nguyên dương \( m \) để hàm số \( y = \frac{x^2 + 2x - m}{x - 1} \) có hai điểm cực trị. Để hàm số \( y = \frac{x^2 + 2x - m}{x - 1} \) có hai điểm cực trị, ta cần tính đạo hàm của nó và tìm các điểm cực trị. \[ y' = \frac{(2x + 2)(x - 1) - (x^2 + 2x - m)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - 2x - 2 - x^2 - 2x + m}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x + m - 2}{(x - 1)^2} \] Để có hai điểm cực trị, phương trình \( x^2 - 2x + m - 2 = 0 \) phải có hai nghiệm phân biệt: \[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 2) > 0 \] \[ 4 - 4(m - 2) > 0 \] \[ 4 - 4m + 8 > 0 \] \[ 12 - 4m > 0 \] \[ m < 3 \] Vì \( m \) là số nguyên dương, nên \( m \) có thể là 1 hoặc 2. Tuy nhiên, theo đề bài, có 3 số nguyên dương \( m \), do đó có thể có thêm một số khác nữa. Kết luận: - Đường tiệm cận xiên của (C) là \( y = x + 3 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([2; 4]\) là 11. - Có 3 số nguyên dương \( m \) để hàm số \( y = \frac{x^2 + 2x - m}{x - 1} \) có hai điểm cực trị. Câu 2: a) Đúng vì nhóm nhiều nhất có 2 học sinh nữ. b) Sai vì số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega)=\frac{C_4^1\times C_8^3+C_4^2\times C_8^2}{A_2^2}\times \frac{C_{10}^4\times C_6^4}{A_2^2}=12600$ c) Sai vì số phần tử của biến cố A là $n(A)=C_2^2\times C_{10}^2\times C_8^4=3150$ d) Sai vì xác suất của biến cố A là $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{3150}{12600}=\frac14$ Câu 3: a) Tọa độ điểm C là $C(3;3;0).$ b) Diện tích tam giác A'B'C là $\frac{9}{2}.$ c) Góc giữa hai đường thẳng AC và B'G là $60^0.$ d) Thể tích khối hộp đã cho là 27(đvtt). Giải: a) Vì ABCD là hình vuông nên tọa độ điểm C là $C(3;3;0).$ b) Ta có $A^\prime(0;0;-3),~B^\prime(3;0;-3).$ Diện tích tam giác A'B'C là $\frac{1}{2}\times A^\prime B^\prime\times A^\prime C=\frac{1}{2}\times 3\times 3=\frac{9}{2}.$ c) Ta có $AC=(3;3;0),~B^\prime G=(-1;1;0).$ $\cos (AC,B^\prime G)=\frac{AC.B^\prime G}{|AC|\times |B^\prime G|}=\frac{3\times (-1)+3\times 1+0\times 0}{\sqrt{3^2+3^2+0^2}\times \sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}}=0.$ Vậy góc giữa hai đường thẳng AC và B'G là $90^0.$ d) Thể tích khối hộp đã cho là $AB\times AD\times AA^\prime =3\times 3\times 3=27.$ Câu 4: a) Công thức tính thể tích chiếc hộp là \( V = x^2h \). Điều này đúng vì thể tích của một hình hộp chữ nhật được tính bằng diện tích đáy nhân với chiều cao, và trong trường hợp này, đáy là hình vuông có cạnh \( x \), do đó diện tích đáy là \( x^2 \). b) Diện tích các mặt ngoài của chiếc hộp là \( S = 2x^2 + 4xh \). Điều này đúng vì diện tích các mặt ngoài bao gồm diện tích hai đáy (mỗi đáy là \( x^2 \)) và diện tích bốn mặt bên (mỗi mặt bên là \( xh \)), tổng lại là \( 2x^2 + 4xh \). c) Diện tích tất cả các mặt được mạ vàng là \( S_{MV} = 2x^2 + 4xh \). Điều này đúng vì chiếc hộp không có nắp, do đó diện tích tất cả các mặt được mạ vàng chính là diện tích các mặt ngoài của chiếc hộp, tức là \( 2x^2 + 4xh \). d) Khi cạnh đáy của chiếc hộp \( x \) lớn hơn 4 thì \( x \) càng lớn, lượng vàng được mạ càng tăng. Điều này đúng vì diện tích tất cả các mặt được mạ vàng là \( S_{MV} = 2x^2 + 4xh \). Khi \( x \) tăng lên, cả hai thành phần \( 2x^2 \) và \( 4xh \) đều tăng lên, do đó tổng diện tích \( S_{MV} \) cũng tăng lên, dẫn đến lượng vàng được mạ cũng tăng lên. Vậy, các lập luận trên đều đúng và hợp lý. Câu 1: Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{3\sin x + 2}{\sin x + 1} \) trên đoạn \([0; \frac{\pi}{2}]\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định miền giá trị của \(\sin x\) trên đoạn \([0; \frac{\pi}{2}]\). - Trên đoạn \([0; \frac{\pi}{2}]\), giá trị của \(\sin x\) nằm trong khoảng \([0; 1]\). Bước 2: Xét hàm số \( y = \frac{3\sin x + 2}{\sin x + 1} \) và đặt \( t = \sin x \). Khi đó, \( t \) thuộc \([0; 1]\) và hàm số trở thành: \[ y = \frac{3t + 2}{t + 1} \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{3t + 2}{t + 1} \) trên đoạn \([0; 1]\). - Khi \( t = 0 \): \[ y = \frac{3(0) + 2}{0 + 1} = 2 \] - Khi \( t = 1 \): \[ y = \frac{3(1) + 2}{1 + 1} = \frac{5}{2} \] Bước 4: Kiểm tra đạo hàm để đảm bảo không có điểm cực trị khác trong khoảng \((0; 1)\). - Tính đạo hàm của \( y \): \[ y' = \frac{(3)(t + 1) - (3t + 2)(1)}{(t + 1)^2} = \frac{3t + 3 - 3t - 2}{(t + 1)^2} = \frac{1}{(t + 1)^2} \] - Đạo hàm \( y' = \frac{1}{(t + 1)^2} \) luôn dương trên đoạn \([0; 1]\), do đó hàm số \( y \) là hàm đồng biến trên đoạn này. Bước 5: Kết luận giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. - Giá trị nhỏ nhất \( m \) xảy ra khi \( t = 0 \): \( m = 2 \) - Giá trị lớn nhất \( M \) xảy ra khi \( t = 1 \): \( M = \frac{5}{2} \) Bước 6: Tính \( M^2 + m^2 \). \[ M^2 + m^2 = \left( \frac{5}{2} \right)^2 + 2^2 = \frac{25}{4} + 4 = \frac{25}{4} + \frac{16}{4} = \frac{41}{4} \] Bước 7: Xác định \( b \) và \( c \) từ \( \frac{bc}{c} = \frac{41}{4} \). - Ta có \( b = 41 \) và \( c = 4 \). Bước 8: Tính \( T = b - c \). \[ T = 41 - 4 = 37 \] Vậy giá trị của \( T \) là \( 37 \). Câu 2: Để tìm vận tốc của tên lửa sau 1 giây, ta cần tính đạo hàm của hàm số $s(t)$ theo thời gian $t$. Hàm số quãng đường là: \[ s(t) = e^{t^2 + 3} + 2te^{3t + 1} \] Ta tính đạo hàm của $s(t)$: 1. Đạo hàm của $e^{t^2 + 3}$: \[ \frac{d}{dt}\left(e^{t^2 + 3}\right) = e^{t^2 + 3} \cdot \frac{d}{dt}(t^2 + 3) = e^{t^2 + 3} \cdot 2t = 2te^{t^2 + 3} \] 2. Đạo hàm của $2te^{3t + 1}$: \[ \frac{d}{dt}\left(2te^{3t + 1}\right) = 2 \left( \frac{d}{dt}(t) \cdot e^{3t + 1} + t \cdot \frac{d}{dt}(e^{3t + 1}) \right) \] \[ = 2 \left( e^{3t + 1} + t \cdot e^{3t + 1} \cdot 3 \right) \] \[ = 2 \left( e^{3t + 1} + 3te^{3t + 1} \right) \] \[ = 2e^{3t + 1} + 6te^{3t + 1} \] Gộp lại ta có đạo hàm của $s(t)$: \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = 2te^{t^2 + 3} + 2e^{3t + 1} + 6te^{3t + 1} \] Bây giờ, ta thay $t = 1$ vào biểu thức trên để tìm vận tốc của tên lửa sau 1 giây: \[ v(1) = 2 \cdot 1 \cdot e^{1^2 + 3} + 2e^{3 \cdot 1 + 1} + 6 \cdot 1 \cdot e^{3 \cdot 1 + 1} \] \[ = 2e^4 + 2e^4 + 6e^4 \] \[ = 10e^4 \] Vậy vận tốc của tên lửa sau 1 giây là $10e^4 \text{ km/s}$. So sánh với dạng $ae^b$, ta thấy $a = 10$ và $b = 4$. Do đó: \[ a + 2b = 10 + 2 \cdot 4 = 10 + 8 = 18 \] Đáp số: $a + 2b = 18$. Câu 3: Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Chiều dài AB = 1 m - Chiều rộng AD = 3,5 m - Chiều cao hố là 2 m Ta cần tính góc giữa đường thẳng BD và đáy hố. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tam giác ABD, trong đó BD là đường chéo của hình chữ nhật ABCD. Bước 1: Tính độ dài BD bằng công thức Pythagoras: \[ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 3,5^2} = \sqrt{1 + 12,25} = \sqrt{13,25} \approx 3,64 \text{ m} \] Bước 2: Xác định góc giữa BD và đáy hố. Ta sẽ sử dụng tỉ số của chiều cao hố và chiều dài BD: \[ \sin(\theta) = \frac{\text{Chiều cao hố}}{BD} = \frac{2}{3,64} \approx 0,549 \] Bước 3: Tìm góc $\theta$ từ giá trị sin: \[ \theta = \arcsin(0,549) \approx 33,3^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng BD và đáy hố là khoảng 33,3 độ. Đáp số: 33,3 độ.