lam ho voi a

Câu 9: Để tính độ dài của véctơ $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{A^\prime C^\prime} - \overrightarrow{A^\prime A}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các véctơ: - Véctơ $\overrightarrow{A^\prime C^\prime}$ là véctơ từ đỉnh $A^\prime$ đến đỉnh $C^\prime$. Độ dài của véctơ này là đường chéo của mặt đáy của hình lập phương, do đó $\left|\overrightarrow{A^\prime C^\prime}\right| = a\sqrt{2}$. - Véctơ $\overrightarrow{A^\prime A}$ là véctơ từ đỉnh $A^\prime$ xuống đỉnh $A$. Độ dài của véctơ này là cạnh của hình lập phương, do đó $\left|\overrightarrow{A^\prime A}\right| = a$. 2. Tính véctơ $\overrightarrow{x}$: - Ta có $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{A^\prime C^\prime} - \overrightarrow{A^\prime A}$. - Véctơ $\overrightarrow{A^\prime C^\prime}$ nằm trên mặt đáy của hình lập phương và véctơ $\overrightarrow{A^\prime A}$ thẳng đứng xuống dưới. Do đó, véctơ $\overrightarrow{x}$ sẽ là đường chéo của hình lập phương. 3. Độ dài của véctơ $\overrightarrow{x}$: - Độ dài của đường chéo của hình lập phương là $a\sqrt{3}$. Vậy độ dài của véctơ $\overrightarrow{x}$ là $a\sqrt{3}$. Đáp án đúng là: D. $a\sqrt{3}$. Câu 10: Trước tiên, ta xác định các vectơ liên quan đến các điểm M, N, P và các đỉnh của tứ diện S.ABC. - M là trung điểm của SA, do đó $\overrightarrow{SM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SA}$. - N là trung điểm của SB, do đó $\overrightarrow{SN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SB}$. - P là trung điểm của SC, do đó $\overrightarrow{SP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SC}$. Bây giờ, ta sẽ tìm các vectơ $\overrightarrow{PN}$ và $\overrightarrow{PM}$. - $\overrightarrow{PN} = \overrightarrow{PS} + \overrightarrow{SN} = -\overrightarrow{SP} + \overrightarrow{SN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{SC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{SB} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SC})$. - $\overrightarrow{PM} = \overrightarrow{PS} + \overrightarrow{SM} = -\overrightarrow{SP} + \overrightarrow{SM} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{SC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{SA} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SC})$. Tiếp theo, ta tính $\overrightarrow{PN} - \overrightarrow{PM}$: $\overrightarrow{PN} - \overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SC}) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SC}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SA}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Do đó, ta có: $\overrightarrow{AB} = 2(\overrightarrow{PN} - \overrightarrow{PM})$. Vậy khẳng định đúng là: D. $\overrightarrow{AB} = 2(\overrightarrow{PN} - \overrightarrow{PM})$. Câu 11: Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Tứ diện S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). - \(SB\) vuông góc với đáy và \(SB = \sqrt{3}a\). Ta cần tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AS}\). Bước 1: Xác định tọa độ các điểm trong hệ tọa độ Oxyz. - Gọi \(A(0, 0, 0)\), \(B(a, 0, 0)\), \(C\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)\). - Vì \(SB\) vuông góc với đáy và \(SB = \sqrt{3}a\), nên \(S(0, 0, \sqrt{3}a)\). Bước 2: Tìm các vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AS}\). - \(\overrightarrow{AB} = B - A = (a, 0, 0)\) - \(\overrightarrow{AS} = S - A = (0, 0, \sqrt{3}a)\) Bước 3: Tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AS}\). - \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AS} = (a, 0, 0) \cdot (0, 0, \sqrt{3}a) = a \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot \sqrt{3}a = 0\) Bước 4: Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AS}\). - \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2} = a\) - \(|\overrightarrow{AS}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (\sqrt{3}a)^2} = \sqrt{3}a\) Bước 5: Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ. - \(\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AS}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AS}|} = \frac{0}{a \cdot \sqrt{3}a} = 0\) Bước 6: Xác định góc \(\theta\). - \(\cos \theta = 0\) suy ra \(\theta = 90^\circ\) Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AS}\) là \(90^\circ\). Đáp án đúng là: D. \(90^\circ\). Câu 12: Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|.cos\widehat{BAC}$. Thay các giá trị đã cho vào, ta có $6=4.|\overrightarrow{AC}|.cos60^0$. Giải ra ta được $|\overrightarrow{AC}|=3$. Vậy độ dài $\overrightarrow{AC}$ là 3. Đáp án đúng là: A